detの意味が分かりません

質問

順列の各成分を行列式にしたものがdet(a,b,c…)ですよね。では、順列が(4,3,2)だったら、detに直すとどうなるんですか？

回答No.1

aquarius_hiro

さきほど別の問いに答えた者です。

行列式の定義は P を置換として、3×3行列なら

det(A) = Σ_P (-1)^P a_{1P(1)} a_{2P(2)} a_{3P(3)}

です。P(i) は置換 P によって i がどこに移るかです。

Σ_P はあらゆる置換 P について和をとるということ。
(-1)^P は P が偶置換なら +1、奇置換なら -1 です。

置換というのは、順列に対応していて、順列 (3,2,1) でしたら、置換 (1,2,3) → (3,2,1) に対応します。これは、1を3に、2を2に、3を1に置き換えるということです。これを置換 P' としましょうか。

この P' に対応する項は、det(A) の和の中の一つの項で、

(-1)^P' a_{13}a_{22}a_{31} です。

この置換は、隣り合った数字の入れ替えを奇数回行って、
(1,2,3) → (2,1,3) → (2,3,1) → (3,2,1)
のように実現できますから、奇置換です。従って (-1)^P' = -1 です。

これが det(A) の和の中の一つの項ですから、

- a_{13}a_{22}a_{31}

が det(A) に寄与することになります。

det(A) への寄与はこれだけではなくて、他のすべての置換（合計3!個ある）に関係する項の総和になります。

それが最初の定義

det(A) = Σ_P (-1)^P a_{1P(1)} a_{2P(2)} a_{3P(3)}

の意味です。

従って、

> 順列の各成分を行列式にしたものがdet(a,b,c…)ですよね。

順列の各成分を行列式にするのではなくて、行列式とは各順列に対応する置換Pに関係する項に(-1)^Pをかけたものの総和です。

> では、順列が(4,3,2)だったら、detに直すとどうなるんですか？

順列が(4,3,2)は意味を成しません。
(3,2,1)の書き間違いとしたら、それに対応する上で説明したような項がdet(A)に寄与します。一つ一つがdet(A)なのではなくて、すべてのPにわたっての総和で一つの実数値が定義されます。