行列の式の成立を示す方法 | 行列の要約
- Aをs次正方行列、Bをt次正方行列とすると、行列の式Aをs次正方行列、Bをt次正方行列とするとについての成立方法について解説します。
- 左辺と右辺が等しいことを示す方法についての疑問について解決方法を説明します。
- 具体的な計算手順を通じて、左辺と右辺が等しいことを示す方法について詳しく説明します。
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Aをs次正方行列、Bをt次正方行列とすると
Aをs次正方行列、Bをt次正方行列とすると ..... |Ｏ Ａ |....... |C A| det| ......|=det |....... |={(-1)^st}・det(A)・det(B) ..... |B Ｃ| ........|B Ｏ| が、成立する事を示せという問題なのですが、全く分かりません。 Oというのは問題文でも断りがないので零行列だと思うのですが、それで左辺と、その隣の返はサラスの方法により分かるのですが…… 右辺(一番右)と等しい事をどのように示せば良いのでしょうか？ 分かる方、よろしくお願い致します。 なお、式中にある「...」は、スペースで空白にならなかったのでつけました。 左辺の場合ですと、detの中身は (1,1)成分がO、(1,2)成分がA、(2,1)成分がB、(2,2)成分がCです。 どなたかお願いいたします。
- natsumenomori
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ヒントです。 |A,O| |C,B| =|A||B| まず、上式が成り立つことを、行列式の定義と多重線形性の性質で 確認する。 後は、 |O,A| |B,C| から、 |A,O| |C,B| へ列の置換を考える。
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- Tacosan
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「ある列とその隣の列を交換する」操作の回数を数えれば, st回なのはあきらかだ.
お礼
何度もありがとうございました。
- Tacosan
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#2 のヒントに従って, 手を動かしてみましたか?
補足
それはやったのですが、(-1)^stという事は、s、tが共に奇数行列のときはマイナスがつき、s、tがそれ以外の組み合わせのときはマイナスがつかないという事だと思うのですが、それをどのように示すのでしょうか？ 確かに手を動かせば、s,tが奇数と奇数の組み合わせのときは、置換回数が奇数回になるのでマイナスがつく事は確認できるのですが、解答文中での、その説明の仕方(示し方)がわかりません。 何度も申し訳ないのですが、よろしければ教えてください。
- Tacosan
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「左辺と、その隣の返はサラスの方法により分かる」というのはなぜですか?
お礼
解答ありがとうございます。 サラスの方法は表現が適切ではありませんでした。 このような零行列が入っていると、一般には成立しないがサラスの方法のようにして行列式を求める事が出来るということなのですが…… なので、右辺の(-1)^mnが分かりません。 detの中身がn次正方行列だとして、nが奇数だった場合、どうして行列式の値は負になってしまうでしょうか？
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