積分の問題です

質問

∫{x / (x^2 + y^2)^(3/2)}dy
という問題です。
分母の3/2乗の扱いがよくわからず，解くことができません。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
＞ｘは定数扱いです。
x=a>0,x^2=a^2とおいて
I=∫{a / (a^2 + y^2)^(3/2)}dy
=y/{a√(a^2+y^2)} +C(Cは積分定数）
xに戻せば
I=y/{x√((x^2)+(y^2))}＋C

手順）
y=a*cos(t)とおけば dy=-a*sin(t)
{a / (a^2 + y^2)^(3/2)}dy
={a / (a^2 + a^2*cos^2(t))^(3/2)}(-a)sin(t)
=-(a^2)sin(t)/{(a^3)(1+cos^2(t))^(3/2)}
=(1/a)(-sin(t))/(1+cos^2(t))^(3/2)
u=cos(t)とおけば du=-sin(t)dt
I=(1/a)∫(-sin(t))/(1+cos^2(t))^(3/2)dt
=(1/a)∫1/(1+cos^2(t))^(3/2)(-sin(t))dt
=(1/a)∫1/(1+u^2)^(3/2)du
=u/{a√(1+u^2)}+C
あとは
u=cos(t),y=a*cos(t),a=xを順に代入するだけでできますね。

お礼

非常に詳しい回答ありがとうございます！
本当に助かりました！

回答No.2

info22

yについてだけの積分ですか？
xについては積分不要ですか？
分からないと回答ができません。
補足をして下さい。

補足

説明不足で申し訳ありません！
ｙについての積分です。
ｘは定数扱いです。

回答No.1

mazoo

被積分関数にxが入ってますが、この積分は元は重積分の問題でしょうか？
もし重積分なら、積分する領域にもよりますが、この積分は
x=rcosθ
y=rsinθ
として解いたほうが楽ですよ。

純粋にこの積分をときたいのでしたら、y=xtanθと置換してみてください。
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
を使えば解けると思います。

お礼

回答ありがとうございます！！