※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：数列・縮小列について）
数列・縮小列について
前にも質問させてもらったのですが、また疑問が出たのでお願いします。「A(1)>0で、A(n+1)=1/{2+A(n)},n=1,2,3,...が縮小列であることを示して、その極限を求めよ」という問題です。
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＜自分の考えた解答＞
|A(n＋2)－A(n＋1)|＝|1/(2＋A(n＋1))－1/(2＋A(n))|
＝|{(A(n)－A(n＋1)}/{(2＋A(n＋1))(2＋A(n))|
＝1/{(2＋A(n＋1))(2＋A(n))}|A(n)－A(n＋1)|
＝1/{(2＋A(n＋1))(2＋A(n))}|A(n＋1)－A(n)|
＝1/4|A(n＋1)－A(n)|
これにより、A(n)は縮小列であるから、収束する。その極限値をαとすると、α=1/(2＋α)より、α>0を考えるとα=√2-1。
よって、lim(n→∞)A(n)==√2-1。
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＜質問＞
まず、縮小列の定義は、数列A(n)において、定数C（０＜C＜１）が存在して、すべてのn（自然数）で、
|A(n＋2)－A(n＋1)|＜＝C|A(n＋1)－A(n)|
となるとき、A(n)を縮小列であるという。
なのですが、
(1)果たして、自分の解答はこれできちんと縮小列の証明になっていますか？？？
(2)αとおいて解く以外に、解法はありますか？？
アドバイスお願いします。
補足
すいません＞＜ ＜自分の考えた解答＞ |A(n＋2)－A(n＋1)|＝|1/(2＋A(n＋1))－1/(2＋A(n))| ＝|{(A(n)－A(n＋1)}/{(2＋A(n＋1))(2＋A(n))| ＝1/{(2＋A(n＋1))(2＋A(n))}|A(n)－A(n＋1)| ＝1/{(2＋A(n＋1))(2＋A(n))}|A(n＋1)－A(n)| ＝＜1/4|A(n＋1)－A(n)| です！！