- ベストアンサー
複素数
connykellyの回答
- connykelly
- ベストアンサー率53% (102/190)
確かに教科書の見直しが先ず必要ですね(笑い）。 複素数a+biを原点の周りに角度θ回転させると複素数(a+bi)(cosθ+isinθ)に移ります。一寸ゴタゴタしますが、点Aを(1+i√3)を原点に持ってくると点B(√3-i)は(√3-1-i(1+√3))となりますね。絵を描いて確認してください。点Aの周りに点Bを135度回転すると上の公式を使って(√3-1-i(1+√3))(cos135°+sin135°)の点に移ります。これは計算すると√2(1+i√3)となります。ここで元の原点に戻すとこの点は(1+√2)(1+i√3)となります。 ＞複素数のiは2乗すると-1という事しか分かりません。 実軸上の実数1にiをかけるとiになるということは原点の周りに90度回転したことになりますね。つまりiを掛けると言うことは原点の周りに90度回転するということです。だからi×i=-1はiを90度回転させて-1にいくということですね。
関連するQ&A
- 複素数平面でのベクトルの扱い方について
複素数平面の問題で複素数をベクトルで表していいんですか？ また、複素数平面の図に→OAなどと書いていいのですか？ 例えば点Aを表す複素数αがあったとき、αと書かずに→OAと書いていいんですか？ また、点Aを原点中心に６０度回転させるとき、α・(cos60°+isin60°)と書かず に、→OA・(cos60°+isin60°)と書いていいのですか？ 先生によって言うことがまちまちなので混乱しています。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数平面
複素数平面上の異なる３点Ｏ(０)、Ａ(α)、Ｂ(β)を頂点とする三角形において、２α＾２－２αβ＋β＾２＝０が成り立つという。この三角形はどのような形か。 ２α＾２－２αβ＋β＾２＝０をα＾２で割り、２－(２β／α）＋(β＾２／α＾２)＝０としました。ここまではいいのですが、参考書の模範解答を見てみるといきなりβ／α＝１±ｉ＝√２{cos(±４５°)＋ｉsin(±４５°)}となっていました。なぜこのようになるのですか？私の計算間違いかもしれないのですが、この答えにならないのです。答えは∠ＯＡＢ＝９０°の直角三角形となっています。解き方をどなたか教えて下さい。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素数 正三角形
複素数で正三角形の頂点を求めたら、６０°回転のとき、-６０°回転のときで、答えが逆になりました。問題は 複素数平面上の３点z1=3+5i,z2=1-3i,z3=1-i をそれぞれP,Q,Rとするとき、次の点を表す複素数を求めよ。(2)正三角形PQTの頂点T というものです。 自分は i)60°回転のとき T=1-3i+{3+5i-(1-3i)}{cos60°+isin60°} = 1-3i+1+√3i+4i+4√3i^2 =2-4√3+(1+√3)i と答えを出したのですが、教科書の解答ではこの値は-６０°回転のときの答えで、 教科書の解答の、６０°回転の値は、自分の-６０°回転のときの値になりました。 自分の計算間違いや、回転の向きの間違い、その他間違っている箇所を訂正してください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素数の問題です。
複素数αとβは, |α - 2| = 2, |β = 3i| = 1をみたす。ここで、z = α + β とおくと、点zの存在領域を福素数平面上に示せ。 上の問題ですが、以下のように解いた場合、参考書の解答と存在領域が異なったのですがどうしてこのようなことがおきるのでしょうか？ちなみに参考書はベクトルを用いています。 α = 2e^iθ + 1, β = e^iθ + 3i とおくと、 α = 2(cosθ + isinθ) + 2 = 2cosθ + 2 + 2sinθi β = cosθ + isinθ + 3i = cosθ + (sinθ + 3)i z = α + β = 2cosθ + 2 + 2sinθi + cosθ + (sinθ + 3)i = 3cosθ + 2 + (3sinθ + 3)i ここで、z = x + yi とおくと x = 3cosθ + 2 y = 3sinθ + 3 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9(cos^2θ + sin^2θ) = 9 ∴ 中心2 + 3i, 半径3の円周上
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトルの扱い方について
座標平面上の点を回転する時には、座標を複素数表示に変換して複素数平面の点として回転するというのはなんとなく分かります。問題は複素数平面でものを考えるときなのですが、例えば、複素数平面上のP,Q,R,Sで、→PQと→RSが90度で交わっていたとすると、普通はQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)と立式すると思うのですが、→PQ・→RS=0（内積）とやってはなぜだめなのでしょうか。 それと、「Q-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)」ではなくて「→PQ=→RS×k(cos±90+isin±90)」と書かないのはどうしてなのでしょうか。 ベクトルの座標平面上での使い方は複素数平面では通用しないのでしょうか。両者は同じ者だと思っていたのですが。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの内積を複素数で表したい
はじめまして。 複素平面上の点 0, z(1)=r(1)*e^iθ(1)=r(1){cosθ(1)+isinθ(1)}, z(2)=r(2)*e^iθ(2)=r(2){cosθ(2)+isinθ(2)} を考えます。 原点0からz(1)への２次元実ベクトル、 ( r(1)cosθ(1), r(1)sinθ(1) ) と、原点0からz(2)への２次元実ベクトル、 ( r(2)cosθ(2), r(2)sinθ(2) ) を考えます。 このとき、二つの２次元実ベクトルの内積 ( r(1)cosθ(1), r(1)sinθ(1) )・( r(2)cosθ(2), r(2)sinθ(2) ) を複素数z(1)、z(2)を用いて表したいのですが、どういった形になるのでしょうか? また、二つの複素数z(1)、z(2)の積 z(1)*z(2) をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表したいのですが、どういった形になるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数の2乗
複素数平面において、3点A(-1),B(1),C(√3i)を頂点とする△ABCが正三角形であることを用いて、3点P(α),Q(β),R(γ)を頂点とする△PQRが正三角形であるとき、 等式α²+β²+γ²-βγ-γα-αβ＝0が成り立つことを証明せよ。という問題で、途中、両辺を2乗すると解答にあるのですが、納得できないので説明お願いしたいです。 △PQR∽△ABCのとき (γ－α)/(β－α)=(√3i-(-1))/(1-(-1))=(1+√3i)/2 よって 2(γ－α)-(β－α)=(β－α)・√3i この式を２乗するのですが、２乗したら右辺が -(β－α)・√3iのときを含んでしまうと思います。 以前はsinx=cosxを、sin²x=cos²x として計算するとsinx=-cosxの解も含むと、注意を受けました。その他、線分ABとBCとCAなども、線分を２乗して方程式をつくり、Cの座標を求める問題もありますが、AB²＝(-BC)²または(-CA)²の場合が含まれているか、気になり出しました。両辺を２乗するのは両辺が正のときに限るとしてきたので、戸惑っています。 ２乗して導けた等式は、△PQR∽△ABCの条件を満たしているか不安です。どなたか解答のやり方でよいことを説明してください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数