数学Ａ（集合）

質問

定期テストで、よく分からない問題が出てきました。１週間経てば授業で分かるのですが、凄く気になるので質問します。

次の集合Ａ、Ｂの共通部分Ａ∩Ｂが{３、ａ}となるとき、定数ａの値を求めよ。
Ａ＝｛２、２ａ＋２、ａ2－１｝、Ｂ＝｛ａ＋１、ａ＋５、３ａ＋４｝

教科書、問題集に似た問題はありませんでした。数学が得意のはずの父も解けませんでした。

回答No.5

noname#47975 · ベストアンサー

Ａ＝｛２、２ａ＋２、ａ＾２－１｝
Ｂ＝｛ａ＋１、ａ＋５、３ａ＋４｝

A∩B＝｛３、ａ｝
まず、３はＡの元である２ａ＋２またはａ＾２－１のどちらかに対応
する事に注意すると、

(1)２ａ＋２＝３のとき
２ａ＝１
ａ＝１／２
より、Ａ＝｛２、３、ー３／４｝　Ｂ＝｛３／２、１１／２、１１／２｝
より、Ａ∩Ｂ＝φとなるので不適ですね．．。

(2)ａ＾２－１＝３
ａ＾２＝４
ａ＝±２
より、
ａ＝２のとき
Ａ＝｛２、６、３｝、Ｂ＝｛３、７、１０｝
より、Ａ∩Ｂ＝｛３｝より不適。
ａ＝－２のとき
Ａ＝｛２、－２、３｝、Ｂ＝｛－１、３、－２｝
より、Ａ∩Ｂ＝｛３、－２｝となり、
これは確かに、Ａ∩Ｂ＝｛３、ａ｝のａに代入しても
Ａ∩Ｂ＝｛３、－２｝となるので、適。

以上により、ａ＝－２となります。

お礼

回答ありがとうございました。この解説を読んで理解できました。空いた15分を全てこの問題に費やしていました。もしかして－２が一番あってる確率が高いと踏んで答えだけ書いておいたのですが、まさか当たっているとは思いませんでした。なぜかメモに２、－２、３　　－１、３、－２とも書いてあったのですが、途中式が全く思い浮かばずチャイムが鳴ってしまいました。理解できて本当に良かったです。勉強になりました。

回答No.4

americam

答えは

a=-2

です。

この時、
A={2,-2,3}、B={-1,3,-2}
になり、確かにA∧B={3,a(=-2)}になっていますよね

この程度だと場合分けの数も少ないので、単純に
(1)2a+2=3のとき　→検証
(2)a2-1=3のとき　→検証
(3)…

といって考えていきました。

お礼

回答ありがとうございました。空いた15分を全てこの問題に費やしていました。もしかして－２が一番あってる確率が高いと踏んで答えだけ書いておいたのですが、まさか当たっているとは思いませんでした。なぜかメモに２、－２、３　　－１、３、－２とも書いてあったのですが、途中式が全く思い浮かばずチャイムが鳴ってしまいました。
勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.3

sanori

Ａの中に３がないといけないので、
２ａ＋２＝３　または　ａ^2－１＝３
よって、
ａ＝１／２　または　ａ＝±２
です。

２ａ＋２＝３　つまり、ａ＝１／２　だとすれば、
残る１つは　ａ^2 －１＝ａ　でなくてはいけません。
しかし、（１／２）^2 －１＝１／２　とはなりません。
よって、ａ＝１／２　ではありません。

次に　ａ^2 －１＝ａ　すなわち　ａ＝±２　を考えます。
すると、残る１つは　２ａ＋２＝ａ　でなくてはいけません。
ａ＝－２　であれば、うまくいきます。

以上のことから
Ａ＝｛２、－２、３｝
ａ＝－２
であることが分かりました。

あとは、Ｂのほうで検算するだけです。
ａ＝－２を代入すれば、
Ｂ＝｛－１、３、－２｝
大丈夫でしたね。

そして、ちゃんと
Ａ∩Ｂ＝｛３、－２｝
になっていますね。

お礼

回答ありがとうございました。この解説を読んで理解できました。空いた15分を全てこの問題に費やしていました。もしかして－２が一番あってる確率が高いと踏んで答えだけ書いておいたのですが、まさか当たっているとは思いませんでした。なぜかメモに２、－２、３　　－１、３、－２とも書いてあったのですが、途中式が全く思い浮かばずチャイムが鳴ってしまいました。理解できて本当に良かったです。勉強になりました。

回答No.2

mastar

共通部分の１つが３であることから、｛２、２ａ＋２、ａ2－１｝のどれかが３にならなければなりません。この３つのうちaに数字を代入した際、ａ2－１のみaが２の時成立します。

しかしもうひとつの共通部分として２をつくらなければなりませんが、Ｂの方で２を作るのは不可能だと思いますが、、、

問題自体に問題があるのでは？？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

apple44444

Bの最初の式から＝３を検証していく
a＋１＝３よりa＝２
これをAのa2-1に代入すると３になるので
３と２がAとBの共通部分！！

お礼

回答ありがとうございました。