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解析力学（一般化座標の独立性）について
最近、解析力学の勉強を始めた者です。 一般化座標を導入し、ラグランジェの方程式に行く途中で理解できないところがあります。 位置ベクトルをrとして、ｒdot=Σ(s=1～n)(∂r/∂qs)qsdot+∂r/∂t となるところまでは理解できたのですが、この式をqkdotで偏微分すると、∂rdot/∂qkdot=∂r/∂qkとなることが理解できません。 ここでは、qkとqkdotを独立としているのでしょうが、なぜ独立としていいのでしょうか？ ここ一週間ほど考えているのですが、どうしても分かりません。どなたか教えてくれませんか？
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- moumougoo
- ベストアンサー率38% (35/90)
面倒なのでdf/dt=f'とあらわします。一般に dr=(∂r/∂q)dq+(∂r/∂q')dq'+(∂r/∂t)dt---(☆) で、(☆)をdtで割ると r'=(∂r/∂q)q'+(∂r/∂q')dq''+(∂r/∂t)---(☆☆) となります。この場合(∂r/∂q')=0でrはq'を含まない式になっていることを意味します。 r'=(∂r/∂q)q'+(∂r/∂t)---(☆☆☆) (☆☆☆)では、あきらかにr'がq'を含んでいます。そこで、両辺をq'で微分すると (∂r'/∂q')=(∂r/∂q) です。なぜなら、(∂r/∂q)、(∂r/∂t)はq'を含まないからです。 意味的には r=r(q,t) Δr=r(q+q'Δt,t+Δt) (∂Δr/∂q')=(∂r/∂q)Δt となっているので、両辺をΔtでわって、与式をえるといったところでようか
補足
夜遅くに回答ありがとうございます。考える際、参考にさせていただきたいと思います。
- connykelly
- ベストアンサー率53% (102/190)
＞qkとqkdotを独立としているのでしょうが、なぜ独立としていいのでしょうか？ 運動方程式は時間の2階微分で、一回積分すると速度を初期条件に、もう一回積分すると位置が初期条件になりますから、運動はその各瞬間の位置と速度を決めてやれば定まるということになります。つまり、位置（一般化座標qk)とその速度(qkの時間微分)を独立変数に取り込んだものがLagrangianで、L(qk,qkdot,t)とかかれます、ということでいかがでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。 qkとqkdtotの間には一般には微分方程式の関係があると思うのですが、それにもかかわらず、独立と考えてもよいのでしょうか？
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