ホモロジー群について

質問

ホモロジー群 Hr(K)=Zr(K)/Br(K) が自由群になるとき、自由群の生成元の個数が、(r+1)次元の穴の数になりますが、３次元の穴が１個（１対）ある場合、２次元の穴は何個になりますか？また、４次元の穴が１個（１対）ある場合、３次元の穴および２次元の穴は何個になりますか？

回答No.1

ojisan7

「生成元の個数が、(r+1)次元の穴の数」というのがよくわからないのですが、一般的に、ｒ次元のホモロジー群の穴の個数（種数）は、そんな簡単に求まるようなら、苦労はしません。捩れのない場合に限ってみても、例えば、種数ｎのトーラスについては、１次元のホモロジー群のベッチ数が２ｎとなることを例として考えてみてみれば、物事は単純ではないことが理解できるのではないでしょうか。３次元、４次元の穴の個数については複体（曲面）の種類にもよりますが、ホモロジー群を計算することが極度に困難になります。tadasi_sさんも、実際にご自分で、計算をして確かめて下さい。