自由渦 速度ポテンシャル

質問

自由渦の二次元円周方向速度uは
u=k/r　(k=定数)　　
である

この流れ場に速度ポテンシャルは存在するか
また存在する場合はそれを記述せよ

という問題なのですが
解き方が全くわかりません教えてください

回答No.2

noname#252183

No1、lycaonです。
冒頭で divをスカラー演算子としたのは誤りで、スカラー量を作るベクトル演算子でした。訂正します。

回答No.1

noname#252183

まとめておきます。

■円筒座標のベクトル演算
数学のベクトル演算に内積A・Bと外積A×Bがあるが、Aにナブラ（▽）
　∇＝(∂/∂ｒ、　(1/ｒ)・∂/∂θ、　∂/∂ｚ)・・・(1)
Bに例えば流速ベクトルＵをとると、divが内積、rotが外積に対応。
ベクトル演算子・量：grad、rot、∇、Ｕ、ζ
スカラー演算子・量：div、△、r、θ、ｚ、φ、ｋ、Γ、Ψ
添字を<>で示す。

☆　３次元円筒座標(r,θ,ｚ)
　gradφ＝∇φ＝(∂φ/∂ｒ、　(1/ｒ)・∂φ/∂θ、　∂φ/∂ｚ)・・・(2)

　divＵ＝∇・Ｕ＝(1/ｒ)・∂(ｒ・Ｕ<r>)/∂ｒ＋(1/ｒ)・∂Ｕ<θ>/∂θ＋∂Ｕ<z>/∂ｚ・・・(3)

　rotＵ＝∇×Ｕ＝（　(1/ｒ)・∂Ｕ<z>/∂θ－∂Ｕ<θ>/∂ｚ，
　　　　　　∂Ｕ<r>/∂ｚ－∂Ｕ<z>/∂ｒ，
　　　　　　(1/ｒ)・{∂(ｒ・Ｕ<θ>)/∂ｒ－∂Ｕ<r>/∂θ}　）・・・(4)

　Δφ＝∇^2φ＝(1/ｒ)・∂/∂ｒ(ｒ・∂φ/∂ｒ)＋(1/ｒ^2)・∂^2φ/∂θ^2＋∂^2φ/∂ｚ^2・・・(5)

☆　２次元極座標(r,θ)
　gradφ＝∇φ＝(∂φ/∂ｒ、　(1/ｒ)・∂φ/∂θ)・・・(2')

　divＵ＝(1/ｒ)・∂(ｒ・Ｕ<r>)/∂ｒ＋(1/ｒ)・∂Ｕ<θ>/∂θ・・・(3')

　rotＵ＝(1/ｒ)・{∂(ｒ・Ｕ<θ>)/∂ｒ－∂Ｕ<r>/∂θ}・・・(4')

　Δφ＝∇^2φ＝(1/ｒ)・∂/∂ｒ(ｒ・∂φ/∂ｒ)＋(1/ｒ^2)・∂^2φ/∂θ^2・・・(5')

■渦度ζと速度ポテンシャルφ
流体力学では rotＵを「渦度」と言い、至るところ渦度がない流れを「渦なし流れ」または「ポテンシャル流れ」と言う。
　渦（渦度）なし⇒　ζ＝rotＵ＝▽×Ｕ＝0・・・(6)
ポテンシャル流れには速度ポテンシャルφが存在する。
速度ポテンシャルを微分すると流速が出る。
　速度ポテンシャル→　Ｕ＝∇φ＝gradφ ・・・(7)

■【問題】（改題）
自由渦の二次元円周方向速度uは　u=k/r　(k=定数)　である。
強制渦の二次元円周方向速度uは　u=kr　(k=定数)　である。
各々半径方向速度は0とする。
これらの流れ場に速度ポテンシャルは存在するか。存在する場合はそれを記述せよ

【解答】
(4')にＵ<r>＝0 を代入。
　rotＵ＝(1/ｒ)・∂(ｒ・Ｕ<θ>)/∂ｒ

☆自由渦：
rotＵ＝(1/ｒ)・∂(ｒ・ｋ/ｒ)/∂ｒ＝0
原点（特異点）以外の至る場所で渦度＝0となるから、速度ポテンシャルφが存在する。
(2')と(7)より
　gradφ＝(∂φ/∂ｒ、(1/ｒ)・∂φ/∂θ)＝ Ｕ＝（０、 ｋ/ｒ)
∂φ/∂ｒ＝0　⇒ 積分して φ＝C1(θ)・・・(a)
C1 はｒについては定数で、θのみの関数
(1/ｒ)・∂φ/∂θ＝ｋ/ｒ　⇒　∂φ/∂θ＝ｋ　⇒　積分して φ＝ｋθ＋C2(ｒ)・・・(b)
C2 はθについては定数で、ｒのみの関数
(a)(b)両式は恒等的に等しい。両方を満足する形はφ＝ｋθ＋C、Cはｒ、θによらない定数。
θ＝0のときφ＝0としてよいから、
φ＝ｋθ・・・（答）

☆強制渦：
rotＵ＝(1/ｒ)・∂(ｒ・ｋｒ)/∂ｒ＝２ｋ≠0
　速度ポテンシャルは存在しない。・・・（答）

【解説】
自由渦：
　中心からの距離に反比例し、中心に近いほど円周方向の流速が大きい。
　自由渦の原点は特異点で、ポテンシャル流れか否かの判定時には、特異点は除外して考える。
　ビーカーの水をマグネット攪拌子で攪拌、風呂の栓を抜いたとき、鳴門の渦潮等で見られる。
　中心付近の液面は朝顔の花弁のように陥没し、その下に渦糸が存在。
強制渦：
　中心からの距離に比例し、中心から遠ざかるほど円周方向の流速が大きい。　
　流体要素が剛体のように一定の角速度で回転。
　遠心分離機内の液で見られる。
　中心付近の液面は回転放物面。

自由渦で、定数ｋを－Γ/(2π)と書き換えると　φ＝－(Γ/2π)・θ
Γは「渦流れの強さ」と呼ばれる。
自由渦の流れの関数Ψは　Ψ＝(Γ/2π)・lnｒ
自由渦のφもΨも、非圧縮性流体なら Laplaceの式 Δφ＝0、ΔΨ＝0　を満たす。