ホモロジー群を求める

質問

・0→H_3(E)→Z→Z→H_2(E)→0

二番目の→：j＊
三番目の→：δ＊　これは連結同型です！（数学記号が正しく出ませんでした）
四番目の→：i＊
五番目の→：j＊

という完全系列についてなんですが、H_3(E)とH_2(E)を求めたいのですがうまく求めることができませんでした・・・
どなたかお知恵を貸してください。
よろしくお願いします。

回答No.2

drdevil · ベストアンサー

単射・全射の意味はいいようですが，寧ろ完全系列の意味を理解しなくてはいけません．L→M→N が完全とはどういう意味か，もう一度確認して理解して下さい．ご指摘の単射性や全射性はそこから出てきます．
繰返しますが，ホモロジー代数ですので，核，余核，像(，余像) といった概念と結びつきます．アーベル群 (加群) だし結構容易な話だと思います．
その上で Z から Z への準同型がどういうものしかないかを考えればいいと思います．

補足

回答ありがとうございます。
復習もしているのですが・・・すみません・・・

五番目の→：j＊　より　0-写像なので　Im j＊=0
二番目の→：j＊　より　単射なので　ker j＊=0

以上よりj＊について準同型定理を用いて

H_3(E)/ker j＊＝Im j＊

H_3(E)/0=0

H_3(E)=0

H_2(E)/ker j＊＝Im j＊も同様に

H_2(E)=0

（同型の記号が打てないため＝で代用しました。）

としてはダメでしょうか・・・
Z から Z への準同型も何も使ってないですが・・・

回答No.1

drdevil

この質問は無茶ですね．
連結準同型 (連結同型ではない) が定数倍写像になることを理解しているでしょうか．その定数が 0 か否かで Ker δ が大きく変わります．そしてその定数が分からないと話になりません．これがレポートの問題だとしたら，その辺も含めて出題したと思えます．質問を読む限り，余りに何も理解していないと思えます．
先ず落ち着いて，核，余核の概念を例とともに理解して下さい．そう時間は要しません．必ず例にはこの場合の有理整数環が登場します．つまり，教科書を落着いて自分で読むのが絶対早道です．分野はホモロジー代数です．

補足

ご回答ありがとうございます。

すみません 連結準同型 の間違いです・・・

私はj＊が単射、i＊が全射として考えてしまいました・・・

（０→Ｇ→Ｈ：二番目の→はｆ、これが完全になるのはｆが単射のとき）
（Ｇ→Ｈ→０：一番目の→はｆ、これが完全になるのはｆが全射のとき）よりです。