sech(x)の逆関数の証明について

質問

sech-1(x)=log{(1+√(1-x^2))/x}
を示せという問題なのですが、
y=sech-1(x)とおき
x=sechy=2/(e^y+e^-y)
x(e^y+e^-y)=2
解と係数の公式から
e^y=1/x±√{(1-x^2)/x^2}
とまではあらわすことができたのですが、ここから±のマイナスの削除の仕方がわかりません。
どうすればよいのでしょうか？

回答No.1

angrox · ベストアンサー

coshxは1つのyに2つのxが対応してしまうのでxが正のとき、
arccoshx=ln(x+√(x^2-1)）とするだけです。
xが負のときは√の前の符号がマイナスになります。

お礼

お礼のほうに書いてしまいますが、
x=sechy=2/(e^y+e^-y)
この時点で、x>0ということが示せてましたね＾＾；；；

補足

ということは、ｘが正という条件のもとでは
sech-1(x)=log{(1+√(1-x^2))/x}で
xが負であるならば
sech-1(x)=log{(1-√(1-x^2))/x}になるということですか？

回答No.2

kkkk2222

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もとの関数sech(x)は

sech(x)=1/cosh(x)
cosh(x)=(1/2)((e^(x))+(e^(-x))
sech(x)=2/【((e^(x))+(e^(-x))】
cosh(x)はカテナリー、懸垂線とも呼ばれ、放物線を上に少し移動したような形となります。
つまり、
sech(x)はcosh(x)の（逆数？）となり、釣鐘状（ベル形）となります。

逆関数を求める際には、もとの関数が単調増加の必要があります。または逆関数を求めて、それが唯一つの関数になれば良い、ともいえます。

このままでは逆関数を算出でぬため。場合分けする事になります。
また先にＸ、Ｙを入れ替えてしまうと分けが判らぬ事にもなります。Ｘ、Ｙを入れ替えずに計算すると、

sech(x)=2/【((e^(x))+(e^(-x))】（Ｘ≧０）　ＭＡＸは１
に対しての逆関数は、
y(e^x+e^-x)=2
y((e^x)^2)-2(e^x)+y=0　（y≠0)
(e^x)=(1/y)(1±√(1-(y^2))
ここで片方を除く事になりますが聊か判断し難いので対数をとってしまいます。
x=log【(1/y)(1±√(1-(y^2))】　　　　　　
Ｘ≧０となるためには、
(1/y)(1±√(1-(y^2))≧１
1±√(1-(y^2))≧y
±√(1-(y^2))≧y-1

ー√(1-(y^2))≧y-1　とすると
√(1-(y^2))≦１－ｙ　（１－ｙ≧０）
０≦２（ｙ＾２）－２ｙ
０≦ｙ－１　で矛盾となります。
よって、x=log【(1/y)(1＋√(1-(y^2))】

sech(x)=2/【((e^(x))+(e^(-x))】（Ｘ≧０）の逆関数は、
arcsech(x)=log【(1/Ｘ)(1＋√(1-(Ｘ^2))】

sech(x)=2/【((e^(x))+(e^(-x))】（Ｘ≦０）の逆関数は、
arcsech(x)=log【(1/Ｘ)(1ー√(1-(Ｘ^2))】
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