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カテナリーの逆関数
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e^x = X と置換して X について解く
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「y=sinhx={e^x-e^(-x)}/2の逆関数を求めよ」 という問題が分かりません. 与式を変形して2y=e^x-e^(-x) e^2x-2ye^x-1=0 e^x>0を考慮して,解の公式よりe^x=y+√(1+y^2) 両辺の対数をとって(表現が間違っているかもしれません) x=log{y+√(1+y^2)} yを変数xについての関数とするために入れ替えて y=log|x+√(1+x^2)| (与式の値域より右辺の真数>0となるよう,絶対値記号を用いています.) とすれば解答と一致します. ですが,次の方法で解こうとすると答えが変わってしまいます. y=f(x)=sinhx={e^x-e^(-x)}/2 f'(x)={e^x+e^(-x)}/2>0より,f(x)は増加関数 逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます. 逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1) この導関数を積分してf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)+C 関数y=f(x)は(0,0)を通るから,逆関数も(0,0)を通る.このことからC=-π/2を得る. よってf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)-π/2 ですが,これは先ほどの解答とは異なる気がします. 後半の解法はどこが間違えているのですか?
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お礼
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