cosh(x)の逆関数について

質問

cosh(x)の逆関数について質問です。

証明において

y=cosh(x)とおくと

exp(x)=y±√（y^2-1)

となり
exp(x1)=y+√(y^2-1)，exp(x2)=y-√(y^2-1) とおくと

exp(x1)・exp(x2)=1，exp(x1)≧exp(x2) なので，0<exp(x2)≦1≦exp(x1)

∴ log(exp(x2))≦0≦log(exp(x2))

となりますが

exp(x1)・exp(x2)=1，exp(x1)≧exp(x2) なので，0<exp(x2)≦1≦exp(x1)

となる理由がわかりません。

なぜ、exp(x1)・exp(x2)=1であるとexp(x2)≦1≦exp(x1)と言えるのですか？

誰か教えて頂けると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>なぜ、exp(x1)・exp(x2)=1であるとexp(x2)≦1≦exp(x1)と言えるのですか？

exp(x1)・exp(x2)=1なら

exp(x1)>0, exp(x2)>0, exp(x1)≠exp(x2)なので

どちらかが1より大きく、他方は小さい必要があります。

(2と0.5のように）

exp(x1)=y+√(y^2-1)，exp(x2)=y-√(y^2-1)

で

exp(x1)≧exp(x2)

以上から

exp(x1)≧1≧exp(x2)

お礼

回答ありがとうございます！

exp(x1)≠exp(x2)より、x1=x2=0は不可能であるから

掛けて1にするには一方が1より大きく、他方は1より小さくなるわけだったんですね。

あとは、exp(x1)≧exp(x2)より、exp(x2)が1より小さい方であると判断でき

exp(x1)≧1≧exp(x2)

と言えるというわけですね。

きちんと理解することが出来ました！
ありがとうございます！

回答No.1

178-tall

>なぜ、exp(x1)・exp(x2)=1であるとexp(x2)≦1≦exp(x1)と言えるのですか？

exp(x1)・exp(x2)=1
　　　↓
x1+x2=0　つまり　x1 = -x2　だから、x2 < 0 → exp(x2) < 1 かつ exp(x1) > 1
　　　↓
x2 < 0 → exp(x2) < 1 < exp(x1)

…引用文では、「x2≦0 ならば」が脱落しているのかな？

お礼

回答ありがとうございます！

x2はこれの証明に置いて、勝手に自分で置きました。

exp(x1)・exp(x2)=1
　　　↓
　　x1+x2=0
という発想が思いつきませんでした。指数に着目するんですね。