微分積分について

質問

以前、簡単にいうと微分は引き算で積分は足し算だときいたことがあります。
積分は区分求積の考えから足し算だと分かるんですが、微分の引き算ってのが理解できません分かりやすく教えて下さい

回答No.8

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

No.5 の回答で
> これを寄せ集めた ?v Δt の極限値(分割を細かくという意味)が
> 積分∫v dt です．
とあったのは
「これを寄せ集めた Σ v Δt の極限値(分割を細かくという意味)が
積分∫v dt です」
と訂正してください．
Σのはずが？になってしまいました(化けた？)

さて「微分」ですが，手元の大学初年級の微分積分学のテキストを何冊か
見てみました．
どの本も，微分は dy などを意味するという記述で，
dy/dx (あるいは y')を微分としている本は１つもありません．
dy/dx の方は，微分係数，微分商，導関数，などど書かれています．
高校のテキストは今手元にありませんのでちょっと分かりません．
どなたか，調べてくだされば幸いです．
高校のテキストも，上のようにちゃんと区別していると思うんですがね～．

「微分」「微分する(した)」はよく似ていますから，
本来 「sin x を微分したものが cos x」というべきところを
「sin x の微分が cos x」と言ってしまいそうな気もします．
英語では，微分が differential，微分するが differentiate，
これも似ていますね．

私も，講義でうっかり「sin x の微分が cos x だから...」
なんて言っていそうな気がします．

お礼

大学の教科書にはdyが微分となっているんですか、やっぱりこれが正しい定義なんですかね。勉強になりました、また、「微分」と「微分する」は違うようですね。

回答No.13

ymmasayan

ymmasayanです。
そろそろ結論が出たようですが、私にはとてもついていけません。ただ一つだけ、最初から疑問だった事ですが。

＞　１）differential, ２）differentiation, ３）derivative を、非専門家レベルでは一緒くたに「微分」と 混同してしまうことが問題なわけです。

私は、むしろ、「微分」と「微分する」に全くかけはなれた意味を与え、「非専門家レベル」に無用な混乱を与えてしまっているような気がします。「甘い罠」といっては言いすぎでしょうか。素人のひがみかもしれません。色々勉強になりました。
きっかけを作ってくださった、質問者：taurus4さん、そして回答者のpen2sanさん、oshiete_gooさん、siegmund先生に感謝します。

回答No.12

oshiete_goo

siegmund先生、詳しい続論をありがとうございます。
研究社の「新英和大辞典」や、平凡社の世界大百科事典の例も紹介いただき、筆者の基本的事実認識がずれていなかったようで、少しほっとしています。

＞> １）学術的にはどこまで許されるか．
＞きちんとした数学の議論ならば，本来の用語の定義に従うべきでしょう．

論文等は英語なので全て識別できて困らないし、議論をする分には、ラフなことを（日本語で）言っても専門家同士なら困らないのでしょうね。多分いずこの業界も。
エスキモーの言葉では様々な"白い"があるのに、日本語では「白い」しかなくて、識別できないというもどかしい話を思い出します。
１）differential, ２）differentiation, ３）derivative を、非専門家レベルでは一緒くたに「微分」と 混同してしまうことが問題なわけです[もちろん1)は知っている人しか使いませんが]。

昨日、三省堂の検定教科書の1つで、本文でなく見出しか何かのところで（平凡社の世界大百科事典にあるような「微分法」の意味でしょうが）「微分、積分」とか「・・・の微分」のようになっているのを見かけました。本文ではなく、正式に定義はしていないので害は無いということなのでしょうか。

ただ、constructの名詞形がconstructionで、「（解の）構成」などと訳していると思うのですが、「微分する」の名詞形として「微分」がダメで「微分すること」などとするしかないとすると、不便ですね。

何かうまい手は無いものか、うなってしまいます。

回答No.11

siegmund

siegmund です．

oshiete_goo さん，お調べいただいてありがとうございます．
>「微分」という用語の定義はありません. もちろん，微分係数や導関数は使われています．
> 検定の方針からすると，まず間違いなく他も同様でしょう．
なるほど，そうですか，高校のテキストでは「微分」という用語は出てこないですか．
よく考えてみれば，「dy/dx などを微分という」なんて書くわけないですね．
学問的に間違っているから，検定通りませんよね．
そうですか，高校のテキストでは「微分」という用語は出てこないと．

> それにしても，高校教科書は「微分法」とは書いてあっても，
> 「微分」は無く，"深く考えて"うまく(安全に)書かれていますね．
もとをたどれば，文科省の指導要領と検定の方針でしょうね．
余計なこと書いたりすると，削れといわれるみたいですから．

> ただし，実態として，「微分」を本来の定義どおりで使っている人は
> 大学数学での定義をきちんと学習・認識した人(のみ)で，
> そうでない大多数の人は教科書では定義されていない（逃げている）
> 「微分」という語を(定義からすると誤って)使っているというのが現状だと
> いう事実を述べたかっただけです．

>「微分すること」だけでなく，「微分したもの(本来は"導関数"など)・・・（３）」
> を指しても「＊＊の微分」みたいな使い方をするのは
> 現実には非専門レベルでは結構あるように思います．

おっしゃるとおり，それが現実かと思います．
前に書きましたように，私自身も講義でうっかり「sin x の微分が cos x だから...」
と言っているような気がします．
数学の専門家の方々は絶対そういうことは言わないんですかね．

> 問題は「微分する」の名詞形"differentiation" ・・・（２）
> をどう訳すかではないでしょうか．

研究社の「新英和大辞典」で differentiaion を引くと，数学用語として
> 微分(すること); 微分法
と書いてあります．ありゃ，これじゃ解決にならんですね．

平凡社の世界大百科事典で，微分を引くと
> 微分法のことを単に微分ということが多いが，これは〈微分すること
> differentiation〉からきた略称である。本項では，
> 微分法の具体的計算法やそのための公式，
> 導関数のおもな性質やその応用について述べるので，
> 項目名は微分法とすべきであろうが，
> 微分の略称が一般に広く使われているのでこの略称を項目名とした。
> 数学用語としての微分の本来の意味は，
> この項目中で後ほど〈微分〉という見出しで述べる。
> なお，微分係数を微分と呼ぶこともあるが，これは正しい用語ではない。
という記述があります．

私自身は，differentiation は「微分する演算」というような意味の語である
というニュアンスを感じています．

> １）学術的にはどこまで許されるか．
きちんとした数学の議論ならば，本来の用語の定義に従うべきでしょう．

> ２）非専門，主に高校数学のレベルでは，どの辺で線引きすべきか．
「sin x の微分が cos x だから，...」のような言い方は
現実には許容範囲のように思われます(少なくともしゃべっているときは)．
ただし，講義などをする側は「微分」の本来の定義をきちんと知っているべきなのは
言うまでもありませんし，学生に本来の定義の話をするのも有益でしょう．
私も
「積分の概念は，細かく分けて置いて掛け算したものを足し合わすのが積分．
原始関数を求めて端の値を代入して引き算，が積分の本来ではない」
という話をするときなどに，「微分」とは何かという話もたいてい一緒にしています．

自分がやっていることに合わせて見解を作ったような気もする(^^;)

回答No.10

oshiete_goo

[用語の問題点についての補足]
大学レベルの「微分」-->differential ・・・（１）
「微分する」-->differentiate
ここまでは問題なしなのですが,
問題は「微分する」の名詞形"differentiation" ・・・（２）をどう訳すかではないでしょうか．(誤っていたら訂正をお願いします．)

これを日本語の通常の用法どおり「微分」と訳して使っているのが，正規ではないかも知れないが現実には多い[筆者が「微分」という用語の誤用のようにこれまで書いてきた]用例で，先述のように，これは高校および大学の教科書では[多分（１）との混同を避けて]使われていないけれども，日本語の一般的な使い方からすると，自然な用法とも言える気がするのですが．．．

さらに問題なのは，（siegmund先生が言及された通り）「微分すること」だけでなく，「微分したもの(本来は"導関数"など)・・・（３）」を指しても「＊＊の微分」みたいな使い方をするのは現実には非専門レベルでは結構あるように思います．

[問題提起]「微分」という語の許容範囲はどこまででしょう？
１）学術的にはどこまで許されるか．特に，（３）はまずかったとしても，（２）はどうか．混同を避けるためにはやはり不便でも禁止されるのか．
２）非専門，主に高校数学のレベルでは，どの辺で線引きすべきか．

以上について，皆様に見解をお伺いします．

回答No.9

oshiete_goo

高校の検定教科書によれば,
「関数f(x)の導関数f'(x)を求めることを, 関数f(x)を微分するという.」
という定義はありますが, 「微分」という用語の定義はありません. もちろん，微分係数や導関数は使われています．
確認したのは1種類のみですが，数研出版の一番レベルの高いもので，検定の方針からすると，まず間違いなく他も同様でしょう．
教科書は危ない橋は渡っていません．

その意味で, No.3で筆者が書いた曖昧な記述[「微分する」と「微分」を区別せず混同させた点]が混乱を招いたとすればその点はお詫びいたします．
ただし，実態として，「微分」を本来の定義どおりで使っている人は大学数学での定義をきちんと学習・認識した人(のみ)で，そうでない大多数の人は教科書では定義されていない（逃げている）「微分」という語を(定義からすると誤って)使っているというのが現状だという事実を述べたかっただけです．

質問者をはじめ，皆様が「微分」という，高校教科書では未定義の語をどのような意味で使われたのかは直接たずねてみないとわかりませんが，いかがでしょう．

学問的に忠実になれば，大学レベルの「微分」の定義がなされるまでは「微分する」は良くても「微分」は使ってはいけないし，使うとしても本来の定義どおり厳格に使うべしということのようですが．．．ということは，高校数学では使えないということでしょうね．それにしても，高校教科書は「微分法」とは書いてあっても，「微分」は無く，"深く考えて"うまく(安全に)書かれていますね．

補足

すみません、良く理解できなかったんですが、導関数を求めることを「微分する」だとおもってましたが、これは厳密には違うって事でしょうか？

回答No.7

ymmasayan

No.2のymmasayanです。

＞　二度も回答しながら、昨夜ゆっくり考えていたら・・・
＞　ますます混乱させて申し訳ありません。

心細くなってきました。（私は、微分に２つの意味があることを初めて知って浅学を恥じているので）

「微分」と「微分する」の概念の違いに振り回されているだけだと思いますが。
No.6は「微分」「積分」ではなくて「微分する」「積分する」と考えれば、掛け算割り算は当然でしょうね。

＞　積分で「細かく分けておいて掛け算し，それを足し合わせる」
＞　という概念が身についていないと，
＞　線積分，面積分，体積積分，などで訳が分からなくなります．

私もその通りだと思います。siegmund先生の回答、いつもながら明快ですね。

ところで、今回のこの混乱の原因、「微分」（積分も？）と言う言葉が大学レベルと高校レベルとで意味が違うという事から来ているようです。「微分」と「微分する」の混乱かもしれません。
なぜこんな事が起きるのか不思議です。別スレッドを立ち上げて聞いて見たい気がします。

補足

微分と微分するのちがいですか、そういうわけ方をするんですかね？

回答No.6

pen2san

突然すいません。
二度も回答しながら、昨夜ゆっくり考えていたら・・・

加速度→（積分）→速度→（積分）→距離
加速度←（微分）←速度←（微分）←距離

それぞれのディメンションは

m/s2 ⇔ m/s ⇔ m

と言う事はディメンションで見ると
微分＝時間で割っている
積分＝時間を掛けている
となりますね。

ますます混乱させて申し訳ありません。

回答No.5

siegmund

oshiete_goo さんご指摘のように，
本来「微分」とは dx や dy のことを言います．
微小変化分(微小増分)ということでしょう．
dy/dx は導関数，微分係数，微分商，などと言うのが本来の名前です．
y を x で微分したもの，という言い方もありますね．

話を簡単にするために，「微分する(微分係数を求める)」「積分する」にしましょう
私は ymmasayan と同様な考えです．

100メートルを10秒で走れば平均の速さは 10 [m/s] ですが，
はじめから終わりまで同じ速度とは限りません．
時間と長さを細かく分割して，割り算をしたものが「その時刻での速度 v」です．
つまり，v 微小な長さの差 Δx と微小な時間 Δt との比の
Δx/Δt の極限値 dx/dt が v です．
こういう意味で，「微分する」とは
引き算をした後で割り算をする，といってよいでしょう．

逆に，速度が一定なら，速度と時間の積で長さになります．
でも，速度が一定とは限らないので，単に掛け算ではまずい．
大体，いつの時点の速度を使えばいいのか困ってしまう．
そこで，微小時間 Δt をとって，その時間に進む距離が v Δt
これを寄せ集めた ?v Δt の極限値(分割を細かくという意味)が
積分∫v dt です．
こう見ると，「積分する」というのは掛け算をしておいて足し算をする，
といってよいでしょう．

上のように考えれば，
微分する： 引き算 ＝> 割り算
積分する： 足し算 <＝ 掛け算
となって，逆にたどれます．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331
も参照下さい．

積分で「細かく分けておいて掛け算し，それを足し合わせる」
という概念が身についていないと，
線積分，面積分，体積積分，などで訳が分からなくなります．

お礼

ありがとうございます。積分についての認識もあまかったです.uRL参考にさせて頂きたいと思います

回答No.4

pen2san

>でも微分の定義(式)ってf(x+a)-f(x)/a のaを極限ゼロまで近づけたものですよね？なので、微分は「引き算と割算」っていうのが正しいと思うんですけど

考え方だと思います。引き算と言うのはＹ軸の変化分ですね。割り算というのはＸ軸に対してですね。Ｙ軸の値に対しては割り算をしていませんね。

別な観点からみれば、
掛け算＝何かに同じ物を何回足すか
割り算＝何かから同じ物を何回引くか
ですから、引き算と考えるか割り算と考えるか、あるいは足し算と考えるか掛け算と考えるかは考え方の違いだけであって、同じ事象を捉えているのではないでしょうか？

積分だって、Ｘ軸とＹ軸の掛け算と考える事ができます。

理解して頂けましたか？

お礼

ありがとうございます。とても分かりやすかったです

回答No.3

oshiete_goo

用語についての注意
大学レベル以上ではNo.1の回答中でも使われているように
Δf=f(x+Δx)-f(x)
のΔx->0の極限的状況での"無限小"の増分のことを微分dfと言っていますが, 高校数学などでは
微分商 lim_{Δx->0}(Δf/Δx)=df/dx
や, それを求める演算を指して微分とか微分すると言っています.
上の専門的用法では, 確かに"引き算"という表現が合うのですが, 高校数学での「微分」が引き算と直結しなくても当然で，質問者の疑問も無理はありません．
そのあたりを混乱なさらないように.

補足

大学レベルと高校レベルの２つの式があるようなんですが、微分といっても定義が色々あるということでしょうか？ぜひ教えて下さいたしかに単に引き算することを微分すると言ったりするときもあるんですよね