添削願い
xについての３次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が実数解α、β、γをもつとき、次の問いに答えよ。ただし、a,b,cはすべての実数でc≠0
(1)yについての３次方程式cy^3+10by^2+100ay+1000=0の解は10/α,10/β,10/γであることをしるせ。
回答
cy^3+10by^2+100ay+1000=0は10/α解に持つとき、
c(10/α)^3+10b(10/α)^2+100a(10/α)+1000=0
両辺にα^3/1000をかけて、
α^3+aα^2+bα+c=0
これはx^3+ax^2+bx+c=0がαを解に持つとき成り立つ式である。よって、cy^3+10by^2+100ay+1000=0
は10/αを解にもつ
同様にして、10/β,10/γのときも成り立つ。
(2)上のxについての３次方程式の解とyについての３次方程式の解がすべて整数となるような
(a,b,c)の組は全部で何通りあるか。
回答
α、β、γは10の約数であるから、
±1,2,5,10 のいずれか。
[1]α、β、γがすべて異なる場合
8C3=56通り
[2]α、β、γのうち２つが異なる場合
8C2=28通り
[3]α、β、γがすべて同じ場合
8通り
以上より
56+28+8=92通り
こうなりましたが、これであっていますか？(1)の答えは友達から教えてもらったのですが、こういう証明の仕方はありなのでしょうか？？あと(2)もいまいち自信がありません。
お礼
そうですね！よく考えればわかりますよね…。お恥ずかしいです。。 ありがとうございました。