積分を含んだ数列、

質問

I(n)=∫[1->e](logx)^n dx
とおくとき

I(n)+nI(n-1)
を求めよ、という問題でアプローチがわかりません

初項は
I(1)=∫[1->e](logx)^1 dx
= [1->e] (xlogx-x)=-1

第２項以降で躓いてしまいました。
I(2)=∫[1->e](logx)^2 dx

パターンについて、ヒントがあればご教授ください。

注：
I(n)のカッコ内のnは数列で使う添え字です。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

部分積分すれば、
I(n)=∫[1->e](logx)^n dx
　= [1->e](x*(logx)^n) - ∫[1->e]n*(logx)^(n-1) dx
　= e - n*I(n-1)
です。

お礼

眠る前に　” e - n*I(n-1)　”の形に気がついていけるのではないかと思いました。

このあとは
n*I(n-1) = e - I(n)
I(n)+n*I(n-1)= I(n) + e - I(n) = e
ですね。