三角関数の問題ですが・・。

質問

二つの三角形が重なっているのですが、
一つは△ＡＤＣで∠Ａ＝１５°∠Ｄ＝７５°∠Ｃ９０°ＤＣ＝１。
もう一つは△ＤＢＣで∠Ｄ＝６０°∠Ｂ３０°∠Ｃ＝９０°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＤＣ＝１　ＢＣ＝√３。
おわかりの通り、ＤＣが共通の変で重なっている部分です。角Ｃが共通なのもおわかりですね？

問題は、この時のＡＣとＡＤの長さを出せというものです。
ＡＣは２と思うのですが、あっているでしょうか？
けど、ＡＤがでないんですよ。三平方の定理を使うと、ルートの中にルートが二つ・・・。これではできないんです。教えてください。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

△BCDはCD:BD:BC=1:2:√3 の三角定規の形ですから,
CD=1 より BD=2. ここで△BADは∠BAD=∠BDA=15^o の二等辺三角形より
BA=BD=2 となり AC=AB+BC=2＋√3
すると三平方の定理より
AD=√(AC^2 + CD^2)=√{(2＋√3)^2 + 1^2}=√(8+4√3)
多分ここまでは質問者も出ていたのでしょう.

詳しくは数Aの参考書で「二重根号の外し方」を調べると良いでしょう.　
今の場合
AD=√(8+4√3)=√{2(4+2√3)}=√{2*(√3+1)^2}=(√3+1)*√2=√6+√2 ・・・(答)

慣れれば勘でも見つかりますが, ポイントは"(4+2√3)"と√3の係数に無理に2を持つ形にして, 4+2√3＝√a+√b (但しa>b>0)とおくと,二乗すればわかるように
足して4(a+b=4), かけて3(ab=3)となる二数がa,bで, a=3, b=1 と決まります.
(どうしても見つからなければ, 解と係数の関係より 2次方程式 x^2-4x+3=0 を解けばよいです. [係数4と3の入り方に注意])

もちろん, はじめのままで,
√(8+4√3)=√(8+2√12)=√A+√B (A>B>0) とおいて, 同様にA+B=8, AB=12 より
A=6, B=2 の方が今の場合直接的ですが, 数字が大きくなるとやや大変なので, 最初の方法になれておいた方が, 数字が複雑になったときも対処しやすいです.

お礼

まことにありがとうございます。そうか！無理に√八を直さずにそのまま外せばよかったんだ！ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

補足と訂正
まず訂正
＞4+2√3＝√a+√b (但しa>b>0)とおくと, √(4+2√3)＝√a+√b が正しいです．訂正します．
[補足]
蛇足かも知れませんが,
√(4+2√3)＝√a+√b (但しa>b>0)
などと "a>b>0" の条件をつけた理由を書き忘れたので追加します.
この取り方に慣れておいた方がいい理由は
√(4-2√3)＝√a-√b (但しa>b>0)
の時も√(4-2√3)＝√3-1 がそのまま使えるからで，普段から（＋の時も）√a±√b (但しa>b>0)の形に習慣付けておかないと

√(4-2√3)＝1-√3 （誤答：右は負ですから明らかにおかしい）

とやる人が結構いるのです．