- ベストアンサー
微分結果がわからない
どなたかご教示ください。 F(x) = r * Sin(x) - r * x * Cos(ｍ) * Cos(x +ｍ) ここでｒ、ｍは定数です。 こういう三角関数の範囲内と外に変数ｘが存在する場合の 考え方、可能なら微分結果をご教示ください。
- catshoes01
- お礼率71% (148/206)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数1
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
F(x) = r * Sin(x) - r * x * Cos(ｍ) * Cos(x +ｍ) の式をxについて微分するという事ですね。 そうすると、 F(x) = rsin(x)-rcos(m)cos(x+m)x F(x)' = r(sin(x))' - rcos(m)(cos(x+m)x)' = rcos(x) - rcos(m)((cos(x+m))'x + cos(x+m)(x)') = rcos(x) - rcos(m)(-sin(x+m)x + cos(x+m)) = rcos(x) + rcos(m)sin(x+m)x - rcos(m)cos(x+m) になるとおもいます。
その他の回答 (2)
- tarame
- ベストアンサー率33% (67/198)
積の微分 (fg)'＝f'g＋fg' 合成関数の微分 f(g(x))＝f'(g(x))g'(x) を使いましょう。 x*cos(x)＝(x)'cos(x)＋x(cos(x))'＝… また、(cos(x))'＝－sin(x)より (cos(x+m))'＝－sin(x+m)*(x+m)'＝… という計算になります。
補足
数十年前に利用した教科書を引っ張り出していました Ｆ（ｘ）’＝Ｃｏｓ（ｘ）－（Ｃｏｓ（ｘ）－ｘ＊Ｓｉｎ（ｘ＋ｍ）＊（Ｘ＋ｍ）） でよろしいのでしょうか？ ちょっと仕事で利用したいので正確な結果が欲しいです。 （ある超越関数の解をニュートン法で求めるのが目的です。）
- andybell
- ベストアンサー率31% (7/22)
私が誤解していなければ三角関数の微分，積の微分等の公式を使って微分することが出来ます。 >三角関数の範囲内と外に変数ｘが存在する場合 値域と定義域を間違えていませんか？ SinとCosは実数全体で定義できますから，微分する際に気をつけることは特にありません。
補足
ありがとうございます。値域と定義域 理解できないのですが。 例えば ｆ（ｘ）＝ｘ＊ｃｏｓ（ｘ）の場合とかですが・・・
関連するQ&A
- 合成関数の偏微分について
z=f(x,y)で x=rcosθ y=rsinθ と置いたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 次にこれらを ∂z/∂r = P ∂z/∂θ = Q とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ) を求めたいのですが ∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を 用いればよいのでしょうか？ 考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです 何故だかさっぱりわかりません。 どなたか知恵を貸していただけるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成関数の偏微分
z=f(x,y)で x=rcosθ y=rsinθ としたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 次にこれらを ∂z/∂r = P ∂z/∂θ = Q とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ) を求めたいのですが ∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を 用いればよいのでしょうか？ 考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りでは偏微分していません。 誰か教えていただけるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成関数を２回偏微分するやり方？がわかりません；；
y＝r * sinθ x＝r * cosθ とすると 合成関数の偏微分法から ∂f/∂r＝cosθ*（∂f/∂x） ＋ sinθ*（∂f/∂y） となります。 もう一回微分して ∂^2f/∂r^2= cos^2θ*（∂^2f/∂x^2） ＋ sin^2θ* （∂^2f/∂y^2）＋ 2sinθcosθ(∂^2f/∂x∂y) になります。 なんで ２回微分したときに cos^2θ とか sin^2θ とか出てくるんですか？ よくわからないので くわしくおしえてほしいです；；
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の微分に関して質問させてください
三角関数の微分に関して質問させてください 三角関数を微分する時分からない部分があります。お力添えしていただければ幸いです。 sin(x)*sin(x)=sin^2x sin^2(x)をｘで微分すると 2*cos(x)*sin(x)となるようなのですが過程を詳しく知りたいのです。また、 sin(x)cos(x)をｘで微分した場合はどのようになるのでしょうか？よろしければお教えください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の解き方 (置換の仕方)
以下の２問の微分方程式の解き方をどなたか教えてください。 (1) sin(x) * cos(y)^2 + y' * cos(x)^2 = C (x:変数, y:xの関数, y':yの導関数, C:定数) (2) y' = (a * x + b * y + c) ^(1/2) (x:変数, y:xの関数, y':yの導関数, a,b,c:定数) 2問ともに適当な変数に置換することは予想がつくのですが,どう置き換えればいいかわかりません。 それと(1)は非同次形の線形微分方程式なんでしょうか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分・全微分を使った証明
力学のある問題の証明で困っております。 z(x,y） zはx,yを変数に持つ関数（式は具体的には指定されていない） x=rcosα-ssinα y=rsinα+scosα （αは定数） の時 ∂^2ｚ/∂x^2+∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂r^2+∂^2z/∂s^2 を証明せよ。 （^2は二階微分） です。 全微分を駆使して証明するようなのですが、私のやり方では右辺を展開する途中で ∂^2z/（∂r∂x）cosα+∂^2z/（∂r∂y）sinα-∂^2z/（∂s∂x）sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα が出てきました。（ここまで合ってればいいのですが・・・） そうすると、sinαとcosαの係数にある微分記号の分母∂ｘ,∂yが邪魔で、この先どう変形して良いのかわからず、左辺の式まで持っていけません。 どなたかわかりませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 三角関数の微分の方法
今数学３に入って、三角関数の微分で困っています。 教科書の三角関数の微分の公式では、 (1) (sin(x))’=cos(x) (2) (cos(x))’=-sin(x) (3) (tan(x))’=1/{cos(x)}^2 と書いてあります。 ですが、(1)を用いた(2)の証明のところで (cos(x))’={sin(x+π/2)}’=cos(x+π/2)・(x+π/2)’=-sin(x) となっています。 また、例題では、 (1)y=sin(2x-1) を微分せよ y’=cos(2x-1)・(2x-1)’=cos(2x-1)・2=2cos(2x-1) となっています。 なぜ、公式の証明のところでは、cos(x+π/2)に(x+π/2)’をかけるのでしょうか？ なぜ、例題でも cos(2x-1)に(2x-1)’をかけるのでしょうか？ はじめの公式から読み取れず困っています。 どうか返答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 早く教えてください偏微分
f(x,y)は何回でも微分できる関数とする。x=r*cosΘ,y=r*sinΘ,g(r,Θ)=f(x,y)とする時、以下の等式が成り立つことを示せ。 ∂＾f/∂x＾+∂＾f/∂y＾=∂＾g/∂r＾+(1/r)*(∂g/∂r)+(1/r＾)*(∂＾g/∂Θ＾)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分関連の質問
微分を数学IIIで習い始めたばかりなので、分からない事があるので教えて下さい。 1 自然対数eとはなんですか。微分しても変わらないのもと言うのは分かるのですが。受験では一般的にどのようなときに使われるのでしょうか。超簡単に教えて下さい。 2 sin,cosの微分は公式を習いましたが、僕は感覚的に(-sinθ)'=-cosθ cosθ'=-sinθ,(-cosθ)'=sinθと三角比の単位円を使って出しています。これに問題はないでしょうか。あと上に微分したものをいくつか書きましたが、これはあっているでしょうか？ 3 合成関数の微分について教えてください。「xの中身がx一文字以外のときに合成関数である。」などと習いました。これでやって答えはあっていることが多いですが今一分かりません。カチッとした定義などではなく、なにか簡単に合成関数を見極める方法はないでしょうか。 4 y=tan＾3θを微分するとy'はどうなるのでしょうか。これも合成関数らしいですが、。「xの中身がx一文字以外のときに合成関数である。」とは思えません。この式を微分する過程を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。確認を取った上で利用させていただきます。