Σの問題

質問

与式(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・+(n+n)^2=Σ(k=1～2n)k^2-Σ(k=1～n)k^2

とありますが、どうしてこうなったか教えてください。全く分かりません。また与式はΣ(k=1～n)（n+k)^2ではいけないのでしょうか。

回答No.5

zk43 · ベストアンサー

（n+1からn+nまでの和）
＝（1からn+nまでの和）－（1からnまでの和）
具体的な数字で考えると、
（51から100までの和）
＝（1から100までの和）－（1から50までの和）
みたいなもの。
あえて1からの和にしたのは公式、
1^2+2^2+…+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
を使うためではないでしょうか。
すると、
与式＝(1/6)2n(2n+1)(4n+1)-(1/6)n(n+1)(2n+1)
となって、共通な項でくくれば一つの式になるのではないでしょうか。

べつにΣ(k=1～n)（n+k)^2＝Σ(k=1～n)(n^2+2nk+k^2)
からも計算できますが。両方の計算結果が一致することも確かめて
みては。

この文面だけでは式変形の目的が分からないので、もういちど本を
確認してみては。正しい式変形なら、いくらでもパターンがあります。
必ず、目的に合うような式変形を行っているはずです。

お礼

（n+1からn+nまでの和）＝（1からn+nまでの和）－（1からnまでの和）
結局こういうことですね。

すべて解決しました。みなさんどうもありがとうございました。

回答No.4

y_akkie

Σ(k=1,2n)k^2 = Σ(k=1,n)k^2 + Σ(k=n+1,2n)k^2
より、Σ(k=n+1,2n) = Σ(k=1,2n)k^2 - Σ(k=1,n)k^2になります。

ちなみに、Σ(k=1,n)（n+k)^2でもかまいません。
こちらの方がより分かりやすい式かもしれませんね…。

補足

どなたのも良く分かりません。

回答No.3

andybell

(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・+(n+n)^2
={1^2+2^2+・・・+k^2+・・・+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+・・・(n+k)^2+・・・+(n+n)^2}
　-{1^2+2^2+・・・+k^2+・・・+n^2}
=Σ(k=1～2n)k^2 - Σ(k=1～n)k^2
のようにして変形できます。

>与式はΣ(k=1～n)（n+k)^2ではいけないのでしょうか。
これはこれで正しいですが、問題によっては上のように変形したほうがうまくいくときがあります。
もちろんこのように変形した方がいいときもあります。

回答No.2

mazimekko3

(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n-1)^2+(n+n)^2=Σ(n+k)^2[k=1→n]
[k=1→n]のとき[n+k=n+1→2n]
よってΣ(n+k)^2[k=1→n]=Σk^2[k=n+1→2n]
ここまでは理解できます？

あたりまえですが
Σk^2[k=1→n]-Σk^2[k=1→n]=0
ですね。

Σは足し算なので
Σk^2[k=n+1→2n]=Σk^2[k=1→n]-Σk^2[k=1→n]+Σk^2[k=n+1→2n]
ですね。

範囲をくっつけて
Σk^2[k=1→n]+Σk^2[k=n+1→2n]=Σk^2[k=1→2n]

よって
(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n-1)^2+(n+n)^2=Σk^2[k=1→2n]-Σk^2[k=1→n]

回答No.1

kakkysan

与式=(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・+(n+n)^2　　（注：最後の項は(2n)^2)
の前に
1^2+2^2+……+n^2＋
をくっつけてみてください

＞与式はΣ(k=1～n)（n+k)^2ではいけないのでしょうか
それでも勿論OKですが、問題はまた別のようです。