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三角関数の証明問題について
KaitoTVGAMEKOZOUの回答
- KaitoTVGAMEKOZOU
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あれ？まだ回答がついておらんぞ。ということは私がやるんですか？ 見通しを立て方ですか。私はシグマをはずしていろいろ考えて、「sin(2kθ-θ)を展開しようと思った」までは同じ試行錯誤を辿ったと思います。 さて、 Σ(from k=1 to n)sin(2kθ-θ) ＝cosθΣ(from k=1 to n)sin(2kθ)－sinθΣ(from k=1 to n)cos(2kθ) …（☆） すると、あとは、Σ(from k=1 to n)sin(2kθ)、Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)を求めればよいというのがわかるでしょう。そしてここでつまづかれたかと思います。それはたぶん、、(from k=1 to n)sin(2kθ)、Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)を単独で求めようとしたのではありませんか？ひょっとすると、その方法でも求められるかも知れませんが、私はやりたくなかった。ここで教科書レベルの知識（公式）を使ってやるんですが、その前に、Σ(from k=1 to n)sin(2kθ)、Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)を級数の形に表してみましょう。 Σ(from k=1 to n)sin(2kθ)＝sin２θ＋sin４θ＋…＋sin２ｋθ＋…＋sin２ｎθ Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)＝cos２θ＋cos４θ＋…＋cos２ｋθ＋…＋cos２ｎθ それぞれの式の右辺をご覧になってください。何かお気づきになりませんか？文系だから複素数はやっていても、その利用を考えたことはないでしょう。これは無理からぬことです。理系だって解けない人はいるだろうから。だから、これからやることは「ええええええーーーーー！？そんなことが出来るのーーーーー？」という気持ちで読んでください。 ド・モアブルの定理、（cosθ＋isinθ)^n＝cosｎθ＋ｉsinｎθより、 Σ(from k=1 to n)(cos2kθ＋ｉsin2kθ) ＝Σ(from k=1 to n)（cosθ＋isinθ)^2k ｐ＝cosθ＋isinθ と置く。{ハイレベルな理系はNO1の方がおっしゃっているようにｅ^iθ＝cosθ＋isinθ ，(iは虚数単位)と置いて考えてみよう} 与式＝Σ(from k=1 to n)ｐ^2k ＝ｐ^2＋ｐ^4＋…＋ｐ^2k＋…＋ｐ^2n ＝ｐ^2(1－ｐ^2n)／(１－ｐ^2) （∵等比数列の和の公式を使った。この公式は導けなくては使えないだろう） このあとは、ｐ＝cosθ＋isinθに戻して計算し、実部と虚部にわける。そうすれば、複素数の相等条件より、 Σ(from k=1 to n)cos2kθ＝実部 Σ(from k=1 to n)sin2kθ＝虚部 がいえる。そして最終的に☆式に代入して終わり。 ＜解説＞ 級数の和、あるい極限を求める問題で、サイン、コサインが入っている問題は、ド・モアブルの定理を用いないと解決出来ないことがある。しかし、大半の高校生は、数Ａの問題なら、数Ａの知識だけを使って解く。数Ｂなら、数Ｂの知識だけを使って解くという”発想”に陥りがちである。こういう考え方だと、複素数に等比数列の公式を使っていいの？などという質問が当然出てくる。教科書をきちんと勉強していればぜんぜんＯＫだということがわかるが、初心者は気づかないものだ。だいたい、受験の問題は、数１２３ＡＢＣなどと分けていることは、センターをのぞいてほとんどない。一部の良心的？な大学ならそういうこともするだろうが（マークシートで、誘導型）、つまらない割りに、計算が大変だ。しかも、誘導に気がつかないと０点である。これを乗り越えるため、分野にとらわれない勉強をする必要がある。その対策本として、大学への数学・数学ショートプログラムという本を紹介しよう。この本は高２までの知識で書かれているので、文系でもだいじょうぶだ。理系でもここから１つ学んで、１０は応用が出来ることを確信している。これが終わったら、あとは解法の探求だのを使って、細部を詰めていけばよい。最後に、最近の理系の主流は数３＋数Ａや、数３＋数Ｂです。なぜかというと、こういう構成で問題を作ると、多くの受験生を落とし、かつしっかり勉強している学生を採ることが出来るからです。このことは時代背景を交えて話が長くなってしまうので、割愛させていただきます。興味があったら質問してください。 追伸 魁！男塾で、最後に男塾と風雲羅漢塾が対決する話がありましたが、その智力の勝負の数学の問題の５番は、数３の極限と、数Ａの級数の和の問題でした。これも複素数を使って簡単に解ける。さすがは、これからの日本の舵取りを育成するという学び屋である。数学の問題ひとつとってみても、この２つの塾の理念が見て取れる。もっとも、栗本の解は正解と合っているとしているが、実は違い、正しい答えは５／１９なのだが、そんな細かいつっこみは、江田島平八と熊田金蔵が旧帝大を首席で卒業し、金時計を２つにわかちあったということを考慮にいれればつまらないことだ。単に計算ミスだろう。しかし、栗本が間違うのはどうかのう！？
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