加法定理と半角の公式について

質問

f(θ)=sin^2θ + sin^2(θ+α) + sin^2(θ+β)がθに無関係な一定値になるよう
にα,βの値を求めなさいという問題です。ここで、sin^2(θ+α)をとくとき
なぜ加法定理で展開せずに半角の公式をつかって、
1/2-1/2(cos2θcoc2α - sin2θsin2α)のように処理するのですか？
その判断はどこらあたりにあるのでしょうか？その必然性を教えてください。
お願いします。

回答No.6

black_monkey

black_monkeyと言います。
ワーイーワーイー三角関数だぁ～。
hoihoihoi18さんの質問の意図を無視して（お猿さんの能力では、回答できないのでぇ～シク、シク。）、αとβの満たす関係式を求めますぅ～。
(5),(6)のα、βの関係式がすでに導出済みと言うことでしたら、読み捨ててください。

【問題】
f(θ)=sin^2θ + sin^2(θ+α) + sin^2(θ+β)がθに無関係な一定値になるよう
にα,βの値を求めなさい。
【計算】
t=tan(θ/2)と置きます。

(1)　sin(θ)^2
=(2*t/(1+t*t))^2

(2)　sin(θ+α)^2
=(cos(θ)*sin(α)+sin(θ)*cos(α))^2
=[(1-t*t)/(1+t*t)*sin(α)+2*t/(1+t*t)*cos(α)]^2

(3)　sin(θ+β)^2
=(cos(θ)*sin(β)+sin(θ)*cos(β))^2
=[(1-t*t)/(1+t*t)*sin(β)+2*t/(1+t*t)*cos(β)]^2

(1)～(3)式を題意のf(θ)の式に代入し、整理しますと

(4)　f(θ)*(1+t*t)^2
=(sin(α)^2+sin(β)^2)*t^4
+4*(cos(α)*sin(α)+cos(β)*sin(β))*t^3
+2*(2+2*cos(α)^2+2*cos(β)^2-sin(α)^2-sin(β)^2)*t^2
+4*(cos(α)*sin(α)+cos(β)*sin(β))*t
+(sin(α)^2+sin(β)^2)

f(θ)がθによらないということは、(4)式の右辺がg(α,β)*(1+t*t)^2の形になっていることが要求されます。g(α,β)はtを含まないαとβの関数です。
(4)式のtの奇数次の項が0より
(5) cos(α)*sin(α)+cos(β)*sin(β)=0
→
cos(2*α)+sin(2*β)=0
(4)式のt^2の項が2*(sin(α)^2+sin(β)^2)に等しくならなければならないので、
(6)　2*(sin(α)^2+sin(β)^2)
=2*(2+2*cos(α)^2+2*cos(β)^2-sin(α)^2-sin(β)^2)
→
0=1+cos(2*α)+cos(2*β)

以上より
α、βが次の2式を満足するように決めればf(θ)はθに依存しないことがわかります。
(5) 0=cos(2*α)+sin(2*β)
(6) 0=1+cos(2*α)+cos(2*β)
ここで、ちょっと検算しますぅ。θ→θ+π/2とすれば、f(θ)のsinはcosになりますので、
f(θ)=cos^2θ+cos^2(θ+2*π/3)+cos^2(θ-2*π/3)
にも適用できます（角度をラジアン表示させていただきました。ウキィ～。）。
α=2*π/3
β=-2*π/3
よって、(5)式を満足することはすぐにわかります（ウキィ～）。
(6)式は、cos(4*π/3)=-cos(π/3)=-1/2より、満足することがわかるかと思います（ウキィ～）。
(5),(6)をさらに変形すれば、α、βの表式が求まるかなぁ～………ウ・キィ～キィ～？

【その他】
t=tan(θ/2)でcos(θ),sin(θ)が
cos(θ)=(1-t*t)/(1+t*t)
sin(θ)=2*t/(1+t*t)
と表現できることは、下記のgoo回答か、数学の参考書で確認していただければウキィ～ですぅ。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=272824

ウソ・誤記・誤計算がありましたらゴメンなさい。

お礼

black_monkeyさん、こんにちは。愉快なお返事どうもありがとうございます。
私にはとても高度な解答で、感心するばかりでした。いつのまにかお猿さんの能力は人間より凌駕していたのですね。シク、シク。ウ・キィ～キィ～