空間ベクトルについて

質問

空間の２点をＡ（－３，１，－２）Ｂ（３，―１，１）とし、ａベクトルの成分を（-1、-4,4）とする。ａベクトルをＡＢベクトルに平行なｂベクトルと、ＡＢベクトルに垂直なベクトルｃの和に表すとき、ｂベクトル、ｃベクトルの成分を求めよ。

問題文から、ａベクトル＝ｂベクトル＋ｃベクトル、ｂベクトル＝ｋＡＢベクトル，ＡＢベクトル・ｃベクトル＝０。ａベクトル・ＡＢベクトル＝１４を求め（ｂベクトル+ｃベクトル）・ＡＢベクトル＝１４からｋの値を求めています。（ｂベクトル+ｃベクトル）・ＡＢベクトルはどこからでてきているのですか？発想の仕方が良く分かりません。教えてください。お願いします。

回答No.2

mondrian

問題文のABベクトルとは、点Aから点Bに向かう幾何ベクトル(矢のイメージ)のことだと思います。ABベクトルは以下のようにして求めることができます。

ABベクトル = （点Ｂの位置ベクトル）- (点Aの位置ベクトル）
= (3, -1, 1) - (-3, 1, -2)
= (3, -1, 1) + (3, -1, 2)
= (6, -2, 3)
ここで、位置ベクトルとは座標の位置を表すベクトルで、
原点O(0, 0, 0)を基準にして、空間の点を指すベクトルのことです。

bベクトルはABベクトルに平行なので、
b = k*AB (1)
と書けます。ここにkはスカラーです。cベクトルですが、
c=(cx, cy, cz) (2)
と書く事にするとABベクトルに垂直なので内積がゼロ、つまり、
c・AB = 0 (3)

ゆえに、
6cx - 2cy - 3cz = 0 (4)
を満たします。

ここで、式(4)の三つの未知数(cx, cy, cz)のいづれか1つを別の2つの未知数で表す事を考えます。本回答では、cxをcy, czで表すことにします。式(4)を移行することにより、
cx = cy/3 - cz/2 (5)
これを式(2)に代入すると
c = (cy/3 - cz/2, cy, cz) (6)
となります。

aベクトルをbベクトルとcベクトルの和で表したときのbベクトルとcベクトルの成分を求めることが目的ですので、
aベクトルの各成分とb+cの各成分を比較して方程式を立て解けばよいことになります。

a = (-1, -4, 4) (7)
b+c = (6k + cy/3 - cz/2, -2k + cy, 3k + cz) (8)
a = b+cより、

6k + cy/3 - cz/2 = -1
-2k + cy = -4
3k + cz = 4

上記の連立方程式を解くことにより、

k = 2/7
cy = -24/7
cz = 22/7
となります。cxは式(5)より
cx = -19/7
となります。よって答えは、
b = (12/7, -4/7, 6/7)
c = (-19/7, -24/7, 22/7)
です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Frock04

ａベクトル＝ｂベクトル＋ｃベクトル
ｂベクトル＝ｋＡＢベクトル，
ＡＢベクトル・ｃベクトル＝０。

ａベクトル・ＡＢベクトル＝１４
の式から、何故
（ｂベクトル+ｃベクトル）・ＡＢベクトル＝１４
の式になったか、ですか？

ａベクトル＝ｂベクトル＋ｃベクトル
では？