留数

質問

z/sin(z)　(z=nπ)の留数を求める問題をやってるのですが、sin(z)のテーラー展開をする時、(t-(t^3)/3!+(t^5)/5!+・・・)^(-1)の計算方法が分かりません。
たぶん、基礎過ぎて書いてないと思うのですが教えてくださる人がいれば教えていただきたい。

お願いします。

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

＞t-(t^3)/3!+(t^5)/5!+・・・)^(-1)の計算方法が分かりません。

sin(z)をテーラー展開すると
sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!+・・・=z(1-z^2/3!+z^4/5!-z^6/7!+・・・)となります。ここで無限に続く級数部を記号ωで代表すると
sin(z)=z(1-ω)、ω=z^2/3!－z^4/5!＋z^6/7!+・・・
とすっきりします。こうすると与式は次のように展開できます。
z/sin(z)=z/{z(1-ω)}=1/1-ω=(1-ω)^(-1)=1＋ω＋ω^2＋ω^3＋・・・
=1＋(z^2/3!＋z^4/5!＋O(z^6))＋(z^2/3!＋O(z^4))^2＋O(z^6)
ここで0(z^6)とかはz^6以上の多項式を意味します。あとはご自分でフォローしてください。
(P.S）z=nπが気になるが。。。。

回答No.1

Mr_Holland

留数を求めるなら、sin(z)よりもz/sin(z)で展開したほうがいいように思いますが、一応テーラー展開の仕方を載せておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

　テーラー展開は関数の高次微分を取らなければならないので、とても大変です。参考までにsin(z)とz/sin(z)のマクローリン展開を記しておきます。

　sin(z)＝[n=0→∞]Σ(-1)^n z^(2n+1)/(2n+1)!
　　　　＝z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!+・・・

　z/sin(z)＝1+[n=1→∞]Σ(2^(2n)-2)Bn z^(2n)/(2n)!、ただし|z|＜π
　　　　　＝1+z^2/6+7z^4/360+31z^6/15120+127z^8/604800+73z^10/3421440+・・・

　ただし、Bnはベルヌーイの数で、
　　Bn＝2(2n)!/(2π)^(2n) [r=1→∞]Σr^(-2n)