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Σが∫ならΠの対応物はなんですか？
alkantalaの回答
- alkantala
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以下では∫は適当な閉区間上の定積分を表すものとします。 そうでないと区分求積の式 lim Σ_i f_i/N = ∫ f(x)dx がうまくいきませんので。 １．に関して結論から言えば lim Π_i log(1+f_i/N) = ∫ f(x)dx は言えません。 ところでこれは lim Σ_i log(1+f_i/N) = lim log (Π_i (1+f_i/N)) = ∫ f(x)dx が言いたかったのでは？（２．との関連で） こちらに関して言えば、積の展開から Π_i (1+f_i/N)) = 1 + Σ_i f_i/N + (Nについて-2乗以下の項) ですから、log(1+X)のマクローリン展開を用いて log (Π_i (1+f_i/N)) = Σ_i f_i/N + (Nについて-2乗以下の項) なので、極限をとればある近似的な式として exp∫f(x)dx ～ lim Π_i (1+f_i/N) と考えることは出来ます。 但し、(Nについて…)の項に関しても 極限が存在するか否かはｆについてより詳細な議論 が必要になりますし、もし極限が存在したとしても ここからの寄与は０とは限りません。 （０にはならないのが普通です。） したがって上の近似～で繋がった式を 等式として理解することは一般にはできません。 ともあれ積（と極限の関係）は難しいので、 大抵は対数をとって普通の積分で色々解析するのが 常套手段です。その場合上ですこしかいま見えたように 積の方からは2次以上の項に積の複雑さが如実に 現われてきますが。 積分は「連続的な和」と言い換える事ができますが、 Ｐとして想定されているような「連続的な積」の概念は 数学で確立されてはいないと思います。 蛇足ですが、（他の問題に関しても）、 反例を具体的に確かめたいなら 初等関数（多項式・三角関数・指数関数・対数関数） で数値実験してみるとよいと思います。 この程度なら数学ソフトを使わなくてもエクセルで 計算できますから。
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お礼
ともかく丁寧なご説明ありがとうございました。 まだ僕は証明が納得いってないのですが、とても参考になりました。
補足
ありがとうございます。仰るとおり lim Π_i log(1+f_i/N) = ∫ f(x)dx は間違いで、 lim log (Π_i (1+f_i/N)) = ∫ f(x)dx が正しいです。 また、アドバイスの通りx+x^2,sin,cos,tan,exp,log(1+x)をMathematica で 0～1 で積分したらO(1/N)で収束しています。 ご指摘の、(Nについて-2乗以下の項) に関してもう少し考えると、 Σ_i Σ_j f_i f_j/N^2= O(N^0) (これを式Aとする） などが入ってきます。（僕も同じように考えて、ここで詰まりました） なので、問題１の証明は exp∫f(x)dx =exp lim Σ_i f_i/N = lim Π_i exp f_i/N = lim Π_i (1+f_i/N+O(1/N^2) ) という流れになりそうなのですが、このいろんなものを交換する所で 数学的な過ちを犯していそうです。（実は僕には良く分かりませんが、上の式A がある以上なんなく誤りのような気がします。） でも、初等関数を使った数値実験では上手くいっているのですが・・・