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Σが∫ならΠの対応物はなんですか？
alkantalaの回答
まず訂正しておきます。 少なくともｆが有界閉区間[a,b]上で連続で 1より小さい正の定数Ａについて |f(x)|≦A が全ての x∈[a,b]について成り立つなら lim Σ_i log(1+f_i/N) = ∫f(x)dx （∫は有界閉区間上の定積分） が言えます。連続という条件はRiemann積分可能 という条件にゆるめてもＯＫでしょう。 |f(x)|≦Ａという条件は log(1+f_i/N) が定義されるように入れた条件です。 ですのでこの条件は 1+f(x)＞0 x∈[a,b] かつ [a,b]上で有界・連続 やもっとゆるい条件で置き換えることも可能でしょう。 変数変換すれば有界閉区間は[0,1]としてよいので、 以下でｆは[0,1]上で有界で積分可能とします。 ｆの絶対値の上界を一つ固定して |ｆ|≦Ｍ＜1 が成り立つものとしておきます。 区間[0,1]のＮ等分割に対応する和 Σ_i log(1+f_i/N) を計算してゆきます。 （ここで和はi=1からi=Nまでの和、 f_i は f(i/N) を略記したものとします。） |f_i|≦Ｍ ですから、全ての f_i/Ｎ はＮが大きいとき 十分０に近いとして構いません。 つまり勝手なε>0に対してＮを十分大きくとるとき、 全てのiに対して |f_i/N|≦ε が言えます。 （全てのiに対して一斉にＮが取れる所がポイント） これとlog(1+X)のマクローリンの定理（誤差項付きのヤツです）から log(1+f_i/N)=f_i/N + O(1/N^2) が全てのiに対して成り立ちます。 つまり O(1/N^2)が各iに無関係とれる定数Ｋで |O(1/N^2)|≦Ｋ/N^2 と評価できるという事です。 従って Σ_i log(1+f_i/N) = Σ_i (f_i/N + O(1/N^2)) = Σ_i f_i/N + O(Σ_i 1/N^2)) = Σ_i f_i/N + O(1/N) （和の項数がＮ個なので） ｆがRiemann積分可能な事から lim Σ_i f_i/N = ∫f(x)dx また上でO(1/N^2)について注意したことから 0≦|O(1/N)|≦Ｋ/N が導かれるので lim O(1/N) = 0 以上から lim Σ_i log(1+f_i/N) = ∫f(x) dx lim の内部で変形する事は問題ありませんから lim log Π_i (1+f_i/N) = ∫f(x) dx （積はi=1からi=Nまでの積、∫は[0,1]上の定積分） は言えました。 log とその逆関数 exp は連続関数なので, 各log Π_i (1+f_i/N) が定義され、 lim Π_i (1+f_i/N) が存在して０でないならば lim log Π_i (1+f_i/N) = log lim Π_i (1+f_i/N) が成り立ちます（証明略）。 従って、ｆに関して適当な条件を仮定すれば lim Π_i (1+f_i/N) = exp(∫f(x)dx) が成り立ちます。 「lim Π_i (1+f_i/N) が存在して０でない」 という条件は結構チェックが面倒な気もしますが。 自分なりにはこれで良いんじゃないかと思うのですが、 誰かチェックしてくれれば安心ですね。 最後に２．についてコメントすると lim Π_i (1+f_i/N) が存在したとして、 これを P(1+df) と微分形式を用いて表現することが 適当かはよく分りません。また Σに対応する∫の類似として、PをΠの対応物と考える というのも若干飛躍があるように思います。 積分の場合は Σ_i f_i/N に 「f_i/N という短冊の面積を足し合わせる」 という意味がきちんとあるのに対し、積の場合は Π_i (1+f_i/N) の意味、特に1/Nをつけることの意味が 判然としないからです。 もしこれについて何か考え（あるいは参考文献）をお持ちでしたら 補足して頂ければ幸いです。 長くなりましたが以上です。
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お礼
alkantalaさま、ありがとうございました。 上記の本を図書館で借りました。３に関してはやはり Product Integration という言葉があるようです。 次に進む手がかりも見つかりましたので、これで 質問を終わらせていただきます。
補足
ありがとうございます。 証明は証明略の部分以外は納得しました。 証明略の部分はあとで自分で調べますので、 とりあえず、問題１が証明されたとしてよさそうです。 また、３に関していろいろ探していると、やはりProduct Integral という名称が"differential equation" とか "high energy physics" などの分野で使われているようです。 例えば、 Product integration with applications to differential equations / John D. Dollard and Charles N. Friedman ; foreword by Felix E. Browder ; appendix by P.R. Masani (Encyclopedia of mathematics and its applications ; v. 10 . Section, Analysis) という本や、 Pacific J. Math. 48, no. 1 (1973), 163 http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1102945710 という論文が見つけられました。論文（フリーで落とせる）を眺めてみましたが、 正直理解できませんでした。 ここに差分方程式の専門化はいらっしゃるでしょうか・・・