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お礼
alkantalaさま、ありがとうございました。 上記の本を図書館で借りました。3に関してはやはり Product Integration という言葉があるようです。 次に進む手がかりも見つかりましたので、これで 質問を終わらせていただきます。
補足
ありがとうございます。 証明は証明略の部分以外は納得しました。 証明略の部分はあとで自分で調べますので、 とりあえず、問題1が証明されたとしてよさそうです。 また、3に関していろいろ探していると、やはりProduct Integral という名称が"differential equation" とか "high energy physics" などの分野で使われているようです。 例えば、 Product integration with applications to differential equations / John D. Dollard and Charles N. Friedman ; foreword by Felix E. Browder ; appendix by P.R. Masani (Encyclopedia of mathematics and its applications ; v. 10 . Section, Analysis) という本や、 Pacific J. Math. 48, no. 1 (1973), 163 http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1102945710 という論文が見つけられました。論文(フリーで落とせる)を眺めてみましたが、 正直理解できませんでした。 ここに差分方程式の専門化はいらっしゃるでしょうか・・・