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「∫[1/10^10 to ∞]f(x)dxが収束ならばlim[x→∞]f(x)=0」の反例は?
こんにちは。 実数関数f:R→Rは連続でx>0でf(x)>0である。 「∫[1/10^10 to ∞]f(x)dxが収束ならばlim[x→∞]f(x)=0」 は偽だと思います。 できるだけシンプルな反例が思い付きません。 どのようなものが挙げられますでしょうか?
- Yoshiko123
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反例が存在しないことをたぶん証明できると思います。以下適当な証明。 lim[x→∞]f(x)が0に収束しなかったとして、たとえばA>0に収束したとして、積分値は存在するでしょうか？ 無限大の極限で収束するのですから、正の微小量ε<Aに対して適当なdを選べば、d<xなるxに対して|f(x)-A|<εです。ここで積分区間を[0,d]と[d,∞]のふたつに分ければ、 ∫[0,∞]f(x)dx = ∫[0,d]f(x)dx+∫[d,∞]f(x)dx となりますが、d<xで|f(x)-A|<εだから、区間[d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε。ゆえに ∫[d,∞]f(x)dx > (A-ε)∫[d,∞]dx = (A-ε)(∞-d) = ∞ よって積分は収束しません。lim[x→∞]f(x)が∞になる場合も同様に示せると思います。
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- atushi256
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No1の者です >実数関数f:R→Rは連続でx>0でf(x)>0であるとき、「∫[1/10^10 to ∞]f(x)dxが収束ならばlim[x→∞]f(x)=0」は偽ですね。 たしかに、そうでした。偽ですね。申し訳ない。 >(iii) lim[x→∞]f(x)は振動する。 >場合にも矛盾が発生する事を示さねばなりませんよね。 >振動の場合にはどうやって矛盾が示せますでしょうか? 一般的な振動する関数であったとしても同様のことを示すことは可能ですが、ほかの方が例に挙げているように無限遠方でデルタ関数的になる場合は示すことが出来ません。 もうしわけない。
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ご回答有難うございます。 図に書いて見ると分かりました。 底辺が1/n^2で高さが1の二等辺三角形を第１像限に原点から底辺がx軸と重なるよう に右にズラリと並べ,側辺からなるギザギザの折れ線をy=f(x)とすけば ∫[0 to ∞]f(x)dx=Σ[n=1..∞]1/(2n^2) =1/2Σ[n=1..∞]1/n^2 でこれは明らかに収束しますが f(x)は0≦f(x)≦1をえんえんと振動しますから lim[n→∞]f(x)は振動 となりますのでこれが反例となる。 ∴偽
- nakaizu
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確かに 実数関数f:R→Rは連続でx>0でf(x)>0であるとき、「∫[1/10^10 to ∞]f(x)dxが収束ならばlim[x→∞]f(x)=0」 は偽ですね。lim[x→∞]f(x)が0以外に収束すれば積分は発散しますが、lim[x→∞]f(x)が収束しないで積分が収束するときがあります。 たとえば次のようなものです。 xについての条件Aと条件Bを次のように決めます。 条件A n-1/n^3<x<n となる2以上の自然数nが存在する 条件B n=<x<n+1/n^3 となる2以上の自然数nが存在する 条件Aと条件Bの両方を同時に満たすことはありません。 xが条件Aを満たすとき f(x)=n^4x-n^5+n xが条件Bを満たすとき f(x)=-n^4x+n^5+n それ以外のとき f(x)=0 とf(x)を定義すると、積分は収束します。簡単には計算できませんが積分の値はπ^2/6-1となります。 f(x)のグラフは2以上の自然数nについてx=nのときのf(x)=nが頂点となり底辺の長さが1/n^3 の三角形が並んでいるものとなります。(三角形と三角形の間は0です) f(x)は連続でlim[x→∞]f(x)は収束しません。f(x)は非有界です。 なお、連続を一様連続に強化すると反例はなくなります。
お礼
ご回答有難うございます。 図に書いて見ると分かりました。 底辺が1/n^2で高さが1の二等辺三角形を第１像限に原点から底辺がx軸と重なるよう に右にズラリと並べ,側辺からなるギザギザの折れ線をy=f(x)とすけば ∫[0 to ∞]f(x)dx=Σ[n=1..∞]1/(2n^2) =1/2Σ[n=1..∞]1/n^2 でこれは明らかに収束しますが f(x)は0≦f(x)≦1をえんえんと振動しますから lim[n→∞]f(x)は振動 となりますのでこれが反例となる。 ∴偽
#2です。わかりにくい回答になってしまい、申し訳ありません。 > (iii) lim[x→∞]f(x)は振動する。 > 場合にも矛盾が発生する事を示さねばなりませんよね。 > 振動の場合にはどうやって矛盾が示せますでしょうか? おっしゃるとおり、fが振動する場合が問題となります。 #2では、2.の関数が振動する部分を担当する本質的な部分です。1.の関数はf(x)>0を保証するための飾りです。 具体的に言ってしまいますと、 1.の関数として、g(x)=exp(-|x|) 2.の関数として、正の整数nの周辺で、底辺の長さが1/(n^2)で高さが1の(二等辺)三角形を考えて、x軸と三角形の辺に沿った線をグラフとしてもつような関数h(x) (三角形が重ならないように、面積を#2の半分にしています。) を考え、その和f(x)=g(x)+h(x)を考えます。 gもhも連続なので、fも連続です。gは正で、hは非負なので、fは正になります。また、Σ(1/(n^2))=(π^2)/6から、hは質問にある領域上での積分値が確定します。もちろんgも、よってfも。しかしながら、fは0に収束しません。
お礼
ご回答有難うございます。 図に書いて見ると分かりました。 底辺が1/n^2で高さが1の二等辺三角形を第１像限に原点から底辺がx軸と重なるよう に右にズラリと並べ,側辺からなるギザギザの折れ線をy=f(x)とすけば ∫[0 to ∞]f(x)dx=Σ[n=1..∞]1/(2n^2) =1/2Σ[n=1..∞]1/n^2 でこれは明らかに収束しますが f(x)は0≦f(x)≦1をえんえんと振動しますから lim[n→∞]f(x)は振動 となりますのでこれが反例となる。 ∴偽
- atushi256
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No1 の者です >> d<xで|f(x)-A|<εだから、区間[d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε。 > ここで閉区間[d,∞]でA-ε<f(x)<A+εはおかしくないですかね。 > x=dの場合はA-ε=f(x)かf(x)=<A+εも有り得るのでは? > よってA-ε≦f(x)≦A+εと書くべきではないですかね。 そうですね。 「区間[d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε」 ではなく 「半開区間(d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε」 と書くのが正確だと思います。 もともと「d<xであるようなxに対して|f(x)-A|<ε」であると言っているので。 そうなってくると、積分区間も本来は(0,d]と(d,∞]とすべきなのでしょうが、こちらは被積分関数が連続なので、積分区間に端点を加えても積分値が変わらないため、問題ないです。
お礼
有難うございます。大変参考になっております。 > 「区間[d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε」 > ではなく > 「半開区間(d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε」 > と書くのが正確だと思います。 > もともと「d<xであるようなxに対して|f(x)-A|<ε」であると言っているので。 納得です。 > そうなってくると、積分区間も本来は(0,d]と(d,∞]と > すべきなのでしょうが、こちらは被積分関数が > 連続なので、積分区間に端点を加えても積分値が > 変わらないため、問題ないです。 線の面積は0だからなのですね。 lim[x→∞]f(x)は発散。と仮定して矛盾を引き出して見る。 たとえば、 (i) 0<A:=lim[x→∞]f(x) とすると、正の微小量ε<Aに対して適当なdを選べば、d<xなるxに対して|f(x)-A|<εである。ここで積分区間を[0,d]と[d,∞]のふたつに分ければ、 ∫[0,∞]f(x)dx = ∫[0,d]f(x)dx+∫[d,∞]f(x)dx となるが、d<xで|f(x)-A|<εだから、区間(d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε…(1)。ゆえに ∫[d,∞]f(x)dx >∫[0,d]f(x)dx+∫[d,∞](A-ε)dx(∵(1)) >∫[d,∞](A-ε)dx =(A-ε)∫[d,∞]dx =lim[t→∞](A-ε)∫[d,t]dx (∵広義積分の定義) =lim[t→∞](A-ε)[x]^t_d =lim[t→∞](A-ε)[t-d] = ∞ よって積分は発散し、「∫[c to ∞]f(x)dxは収束」に矛盾。 > lim[x→∞]f(x)が∞になる場合も同様に示せると思います。 (ii) lim[x→∞]f(x)=∞ とすると、正数εに対して適当なdを選べば、d<xなるxに対してε<f(x)である。ここで積分区間を[0,d]と[d,∞]のふたつに分ければ、 ∫[0,∞]f(x)dx =∫[0,d]f(x)dx+∫[d,∞]f(x)dx となるが、d<xでε<f(x)だから、区間(d,∞]においてはε<f(x)…(1)。 ゆえに ∫[d,∞]f(x)dx >∫[0,d]f(x)dx+∫[d,∞]εdx(∵(1)) >ε∫[d,∞]εdx =lim[t→∞]ε∫[d,t]dx (∵広義積分の定義) =lim[t→∞]ε[x]^t_d =lim[t→∞]ε[t-d] = ∞ よって積分は発散し、「∫[c to ∞]f(x)dxは収束」に矛盾。 あと、 (iii) lim[x→∞]f(x)は振動する。 場合にも矛盾が発生する事を示さねばなりませんよね。 振動の場合にはどうやって矛盾が示せますでしょうか?
イメージとしては、 1. exp(-x)のような関数 2. 基本的には平坦(値が0)だけど、正の整数nで高さ1まで盛り上がる(盛り上がる部分の面積は1/n^2)ような関数 をうまく補正してR上連続にして、その和を考えればよいのではないでしょうか。 どのくらいシンプルなものを要求しているのかわかりませんが。
お礼
ご回答有難うございます。 私は"偽"だと誤推していたのですが atushi256様のご回答でこの命題は"真"だと判明致しましたので反例は無し。。 という事になったのですが、、、 D733様は"偽"だとご主張なさるのでしょうか?
お礼
ご回答有難うございます。 > 反例が存在しないことをたぶん証明できると思います。以下適当な証明。 つまり、この命題は"真"でしかも真である事を背理法で証明されたのですね。 > d<xで|f(x)-A|<εだから、区間[d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε。 ここで閉区間[d,∞]でA-ε<f(x)<A+εはおかしくないですかね。 x=dの場合はA-ε=f(x)かf(x)=<A+εも有り得るのでは? よってA-ε≦f(x)≦A+εと書くべきではないですかね。 (スイマセン。ちょっと気になったもので)