図形

質問

１目盛り1cmの方眼紙をりようして
(1)
面積が5cm＾2と10cm＾2の正方形を作成するとき
面積が5cm＾2は１辺の長さが√5の正方形を考えると√5=√｛(1＾2)+(2＾2)｝
面積が１０cm＾2は１辺の長さが√10の正方形を考えると√10=√｛(1＾2)+(3＾2)｝
と考えたのですがどのように作図をすればいいのか分からないので教えてください

(2)１目盛り1cmの方眼紙を利用して、面積が整数となる正方形を作図するとき小さい方から順に７つの面積を書くと
1cm＾2,2cm＾2,4cm＾2,5cm＾2,8cm＾2,9cm＾2,10cm＾2になるのが分かりません。

回答No.2

rtz

(1)
3cm×3cmの正方形を方眼紙を利用して取り、
仮に左上をA、右上をB、右下をC、左下をDとすれば、
AB上でAから1cmの点、BC上でBから1cmの点、CD上でCから1cmの点、DA上でDから1cmの点をそれぞれ結べば1辺√5の正方形に。
余った部分が1cm、2cm、√5cmの直角三角形4つになることがポイントです。
10cm^2も(1+3)＝4cmの正方形を利用すれば描けます。

(2)
つまり(1)でみたように(斜めの線の長さ)^2が面積となるので、
(斜めの線の長さ)^2＝(短い辺)^2＋(長い辺)^2と表せなければいけません。
つまり(整数)^2＋(整数)^2で表せないものは斜めの線を利用できないので描けないです。
1、4、9、16…は元々の方眼紙の升目を使えばいいですね。
2＝1^2＋1^2
5＝1^2＋2^2
8＝2^2＋2^2
10＝1^2＋3^2
13＝2^2＋3^2
……
といった感じです。

補足

解説ありがとうございます。
余った部分が1cm、2cm、√5cmの直角三角形4つになることがポイントです。
10cm^2も(1+3)＝4cmの正方形を利用すれば描けます。
についてよく分からないので教えてください

回答No.1

yanasawa

(1)
例えば1×1の正方形の対角線を4本使うと2cm^2の正方形が作れます。
では2×2の正方形の対角線を使うと？
1×2の長方形の対角線では？　1×3では？　2×3では？　・・・
いろいろやってみると分かります。

(2)
存在証明は不明です。例えば3cm^2の正方形がないのはどう考えればいいか分かりません。(1)のように、もとの対角線を作る長方形(直角三角形)の２辺を考察するのだと思いますが。