直角二等辺三角形についての質問

質問

くだらない質問ですが結構真剣に悩んでいますのでどなたかわかる方がいらっしゃいましたら
教えて下さい。

直角二等辺三角形ABC（Aが直角）があるとします。線分AB及びACの長さは１とします。
点Bから点Aを経由して点Cにいった場合道のりは２となりますが、点Bから点Cに直接
いった場合道のりは１．４（ルート２）となります。

ここで線分ABの中間点に点D、線分ACの中間点に点E、線分ABの中間点に点Fを置き、
点Bから点D、点F、点E、点Cの順にたどると道のりはやはり２になります。

同様に三角形BDF及び三角形CEFのそれぞれの辺の中間点を結んでいく作業を繰り返して
行くとこの道のりは限りなく線分BCに近づくと思います。でもこのぎざぎざを進む限りやはり
道のりは２のはずですが、このぎざぎざが線分BCとほぼ重なった場合、どうして線分BCの
道のり（＝辺の長さ）はルート２なのでしょうか？

現在私は碁盤の目に道が整備されている町に住んでおりまして、どうも道をぎざぎざに進んだ
方が早い気がしております。そのため、このような疑問が湧きました。

文字だけで説明するのは非常に難しいのですがご回答方よろしくお願いします。

回答No.1

starflora · ベストアンサー

ＡＢを水平に置き、ＡＣを垂直に置くとします。すると、中点を順番に取って行くことで、ギザギザの経路ができるのですが、その進む方向は、水平（この場合、ＢからＡの方向へ）、垂直（上向き）の二つしかありません。どんなに細かく分割して行っても、常に、垂直向きには、合計すると、１の距離進み、水平方向では、合計１の距離進みます。

　　従って、分割を極限まで小さくしても、水平の移動距離は１，垂直の移動距離は１というのは変化せず、結局、合計２の距離進むことになります。これは、水平に動き、次に垂直に動きという運動をしているからで、「斜めに進む」という移動がないと、この値は変化しません。つまり、ギザギザの線を幾ら、そのギザギザを小さくしても、決して、斜め線と同じものにはならないのです。

　　これは、理論的な数学上の「経路」での話です。現実の道路は、必ず「幅」があります。だから、非常にたくさん折れ曲がると、道路の幅のなかで、「斜めに」進むことができます。こうすると、直角に一々曲がるより、距離が短いでしょう。

　　四差路で、真ん中を通ることができれば、斜め向こうの角に行くのに、まず直進し、次に左へ進むというようなことはしないで、交差点の真ん中を通って、斜めに進むでしょう。道路の幅のなかで、これと似たことが起こり、道路の上でも、水平・垂直方向しか移動しなかったら、距離は同じですが、道路を斜めに進むと、その分、少し、全体の通過距離が短くなります。つまり、細かくギザギザになっている道路を使うと、直角の道を水平に進んで、次に垂直に進む、つまり、距離２より、短い距離で、目的地に着けるのです。

　　数学の「線」は幅がないのですが、現実の「道路」は幅があるので、こういうことになります。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました。どんなに細かくしてもななめとはいっしょにならないのですね。
机上でのお話と実際は異なるんだということがよくわかりました。

でも感覚的に「斜めのほうが早い」というのはあながち間違いではないと判ったので良かったです。

また何かありましたらよろしくお願いします。

回答No.3

ranx

一般に曲線の長さを計算する時、曲線を微小な直線分の集まりで近似し、直線分の長さをゼロに
近づけた極限値をその曲線の長さと考えます。同じような考え方をすれば、斜めの直線を水平・
垂直方向の微小な直線分で近似し、その極限値をとっても良さそうに思えます。しかし実際には
そうなりません。なぜでしょうか。
極限という考え方を使う場合、通常具体的に得られる個々の数値は求める極限値とは一致しない
のが普通です。しかし、条件をうまく設定することによってその差分をいくらでも小さくできる
ということが認められる場合があり、そのような場合に限って極限の考え方を使うことができる
のです。
今回のケースでは、ギザギザの間隔を小さくしても斜めの直線との差は小さくすることができま
せん。したがって、極限という考え方を使うことができないのです。

ところで、ＢＣの距離はなぜルート２になるのでしょうか。これはユークリッド空間の性質だと
言わざるをえないように思います。（専門家の方でもっと深い理由をお分かりの方はいらっしゃる
かもしれませんが）実際、ユークリッド空間でなければ、これがルート２にならないケースは
いくらでもあります。例えば、地球をリーマン型の非ユークリッド空間のモデルとみなした場合、
北極から１万ｋｍ南下すると赤道上にきますが、そこから１万ｋｍ東へ行った地点はやはり北極
から１万ｋｍの距離です。あるいは、通常の距離（ユークリッドの距離と言います）の代わりに
水平垂直方向の距離の和を２点間の距離と定義しても（マンハッタン長）数学的には成り立ち
ます。この長さを使えば、ＢＣの距離はそのまま２となります。

実際の道路でギザギザに進んだ場合に距離が短くなるというのは、starfloraさんがお書きのように
道路を斜めに進むことができるのも一つの理由ですが、もう一つ、コーナリングの回数が増える
ことも影響すると思います。道路端から１ｍの距離のところを歩いていて角に来たとき、そのまま
１ｍ進んでから９０度向きを変えてさらに１ｍ進めば２ｍですが、角を中心とした円の上を歩けば
π／２＝約１．５７ｍになりますね。これが積み重なれば、それなりの差になると思います。

お礼

ご丁寧な説明ありがとうございました。昔数学で微分積分を勉強したときにそのような
解説を受けたような記憶がありますが、ほとんど覚えてませんでした。

円の面積を計算するのと同じ考えになるのかな？と思っていたのですがやっぱり違う
のですね。また、＋αの解説もありがとうございました。数学とは縁遠い世界に生きて
おりますので、新鮮な知識を得ることができました。

またよろしくお願いします。

回答No.2

kuniuni

歩く速度を v（一定）とする。Ｂ→Ａ→Ｃの経路に対し、Ｂ→Ａまでに時間 t かかったとします。

１回目（Ｂ→Ａ→Ｃ）：歩いた距離＝vt+vt=2vt
２回目（Ｂ→Ｄ→Ｆ→Ｅ→Ｃ）：歩いた距離=v(t/2)+v(t/2)+v(t/2)+v(t/2)=2vt
３回目：歩いた距離=v(t/4)+v(t/4)+v(t/4)+v(t/4)+v(t/4)+v(t/4)+v(t/4)+v(t/4)=2vt
　　：
　　：
ｎ回目（ｎ=∞）：歩いた距離=v(t/2^(n-1))×2^n=2vt

となり、移動距離はどんな経路をたどろうが、2vt一定ということになりますね。

お礼

回答ありがとうございました。

難しそうな式でびっくりしましたが、いずれにしても距離は２のままということなんですね。
こういう方面に知識があると物事が異なって見えることがあるのかもしれません。

また何かありましたらよろしくお願いします。