三角関数

質問

sinC=2sinAcosBの三角形はどのような三角形か？という問いで、私はsin＾2C=4sin＾2Acos＾2B
1-cos＾2C= 4(1-cos＾2A)cos＾2B
1-(a＾2+b＾2-c＾2/2ab)＾2=4(1-b＾2+c＾2-a＾2/2bc)＾2(1-c＾2+a＾2-b＾2/2ac)＾2
と変形しましたが、この先はどう考えたらいいのでしょう？よければ教えてください。

回答No.2

extra-exp · ベストアンサー

どのような三角形かという質問なので３辺の長さをa,b,cとおきたい気持ちはわかりますが、三角形の形は角の大きさだけで判断ができるので
A+B+C=180°
から
C=180°-A-B
をsinCに代入して
sin{180°-(A+B)}＝sin180°cos(A+B)-cos180°sin(A+B)
＝sin(A+B)
　　　　　　　　＝sinAcosB+cosAsinB
これが2sinAcosBと一致するから・・・
tanA＝tanB
∴A=B
これはA=Bの二等辺三角形だとわかります。
実際に、二等辺三角形の特別な場合正三角形の条件を当てはめても成り立ちますよね。
・・・と自信たっぷりに書いたのですが、もし違っていたらごめんなさい。

お礼

アドバイスありがとうございます！理解できました！

回答No.4

oyamala

ただの別解なんですけどNo.2さんが答えたように、
C= 180°- (A+B)から　sinC = sin(A+B) として
2sinAcosB を、積和の公式
sinAcosB = (1/2)｛ sin(A+B) + sin(A-B) ｝を用いると

2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)となりますので

sinC = 2sinAcosB は
sin(A+B) = sin(A+B) + sin(A-B)　となり
sin(A-B) = 0
∴ A=B　（∵ 0 < A < 180°, 0 < B < 180°より -180°< A-B < 180°)

で以降はNo.2さんと同じっていう手もあるかもしれません。

お礼

ありがとうございます、様々な解き方があるのですね、参考にさせていただきます。

回答No.3

ccyuki

三角形の形状を調べる問題は、cosは余弦定理、sinは正弦定理で消します。
正弦定理　a/sinA=2R　(Rは△ABCの外接円の半径）より
　　　sinA=c/2R・・・(1)　
　　　同様に　　sinC=c/2R・・・(2)
余弦定理から　cosB=(c＾2+a＾2-b＾2)/2ac・・・(3)
　　sinC=2sinAcosB　に(1)(2)(3)を代入して
　　　c/2R=2×c/2R×(c＾2+a＾2-b＾2)/2ac
　　よって　　c^2=c＾2+a＾2-b＾2
a＾2-b＾2=0
(a+b)(a-b)=0 a+b>0 より　a=b
よって　△ABCは　BC=AC　の二等辺三角形

お礼

ご回答ありがとうございます！正弦定理を利用することを考えてませんでした、ありがとうございます。

回答No.1

debut

次数が高くなって解きにくくなるので、
最初に正弦定理でsinC,sinAを消去するのは
どうでしょうか？

お礼

了解しました、ありがとうございます！