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等比数列の文章題 | 2点A1(a,0)とB1(0,a)の内心C1を通って平行な直線を引く操作の繰り返し
at06の回答
まず、Anのx座標とBnのy座標は常に同じです。その値をa_nとします。 目標にすることは、漸化式を作ることです。 △OAnBnについて考えます。(内接円の半径をr_nとします。) △OAnBnの面積Snは、内接円の半径を用いて、 Sn = (1/2)(a_n+a_n+√((a_n)^2+(a_n)^2))r_n と表せます。(分からない場合は、内接円の中心と三角形の頂点を結ぶ線分を描いて、出来上がった三つの三角形の面積を計算してみてください。) 次に、Snを普通に面積公式で求めます。 Sn = (1/2)(a_n)^2 この2式を比較すれば、r_nがa_nで表せます。r_n = (1/2)(2-√2)a_nとなるはずです。 ここで、An+1 Bn+1という線分は、傾きが-1であり、△OAnBnの内接円の中心(r_n,r_n)を通ります。 よって、a_(n+1) = 2r_n これによってa_nの漸化式ができました。そこからa_nを求めればSnは簡単に求まりますね。 あとはそれのnを無限大に飛ばすだけです。 ちなみに、Sn→0(n→∞)です。(4√2+5)a^2/14に収束するのはSnの無限級数ですね。
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お礼
丁寧な説明ありがとうございます。半径を使って 面積をあらわすとういう発想はなかったです。 かなり分かりやすかったです!