• ベストアンサー

連続するn個の数

atomicmoleculeの回答

回答No.8

no.4さんの帰納法の証明をちゃんと考えてみてください。その中にn個の何故連続する整数の積がn!で割り切れるかが見えてきます。

eibu
質問者

お礼

No.4さんの証明は以下のようになりました。 mCn(1≦n≦m)が全て整数となることを証明する。 ・m=1のとき 1C1=1により成り立つ。 ・m=kでの成立を仮定するとkC1,…,kC(n-1),kCn,…kC(K-1),kCkは全て整数である。m=k+1では (k+1)Cn=kC(n-1)+kCn 右辺はm=kでの仮定により整数ゆえm=k+1でも成り立つ。 少しずつ何故割り切れるのか、直感的に感じられるようになってきました。 ありがとうございます。

関連するQ&A

  • (n^2+(n-1)^2)で表わされる素数に関して

    単純な計算なのでやっているのですが、nを偶数としてn-1とくみあわせて、(n^2+(n-1)-2のかわりに )n^2-(n-1)^2を計算すると2に近い小さな素数のかなりが出てきます。すべてではないのですが、気になります。何か意味のあることがあるのでしょうか。

  • 連続したn個の整数の積

    ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることがわからないので質問します。問題は、 整数a,bを係数とする2次式f(x)=x^2+ax+bを考える。f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。 (1)αは整数である。(2)任意の整数lと任意の自然数nに対して、n個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。 (1)α=m/n(m,nは互いに素な整数)とおくと条件より (m/n)^2+a(m/n)+b=0, m^2/n=-(am+bn) m^2はnで割り切れるが,m,nは互いに素だから n=±1しかない。ゆえにα=±mとなり、αは整数である。 (2)f(α)=0だから、f(x)=x^2+ax+b=0となる2次方程式は、x=αなる解をもつ。ほかの解をβとすれば、解と係数の関係からα+β=-a,β=-a-αよりβも整数である。ゆえにf(x)はこの2整数α,βを用いて、f(x)=(x-α)(x-β)と因数分解できる。したがってf(l)=(l-α)(l-β)となりf(l)はl-αで割り切れる。同様に、 f(l+1)はl+1-α で f(l+2)はl+2-α   ・・・ f(l+n-1)はl+n-1-α で割り切れる。 ゆえにf(l)f(l+1)f(l+2)・・・f(l+n-1)はそれらの積 (l-α)(l+1-α)(l+2-α)・・・(l+n-1-α)= (l-α)(l-α+1)(l-α+2)・・・(l-α+n-1)で割り切れる。 ここがわからないところです。 l-αからはじまる引き続いたn個の整数の積だから、どこかにnの倍数がある。 自分はl-α=-3 n=4で計算をしたら、 -3,-2,-1,0 となり0が4で割り切れるのかと疑問に思ったり、 他の数を代入して計算してみても、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることが実感できませんでした。 解答の続きは、よってn個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。でした。 どなたか、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることを証明してください。お願いします。

  • 連続した文字

    連続した3つの正の奇数。そのうち、小さいほうの2数の平方の和は1番大きい数の平方より65大きい。 これらの3つの数を求める問題で 連続した3つの正の奇数を2n-1,2n+1,2n+3とすると 仮に {(2n-1)^2}+{(2n+1)^2}={(2n+3)^2}+65 (n^2)-3n-18=0 (n+3)(n-6)=0になりました、 この後どのような計算をするのでしょうか?

  • nCr=n-1Cr-1+n-1Cr(1≦r≦n-1)の意味

    こんにちは。 数学1+Cを勉強しています。 組合せの項目中、nCr=n-1Cr-1+n-1Cr(1≦r≦n-1)という等式が出てきて、説明では、 →n人の中からr人を選ぶとき、n人の中の特定の1人、例えばAに着目する。このとき、次の2つの場合が考えられる。  (1)選ばれるn人の中にAが含まれている場合    A以外の残り(n-1)人から(r-1)人を選べばよい。  (2)選ばれるn人の中にAが含まれない場合 を考える。    A以外の残り(n-1)人からr人を選ぶ という説明ですが、よくわかりません。Aは必ずn人の中にいると思うのですが、どう考えればよいのでしょうか。  よろしくお願いします。

  • 組み合わせの漸化式について

    組み合わせnCrは、漸化式nC(r-1) * (n-r+1)/rによって表されることを確かめようと、以下の計算をしたのですが、どうしても nC(r-1) * (n-r+1)になってしまいます。 nCr = n!/n!(n-r)! nC(r-1) = n!/n!(n-r+1)! nCr / nC(r-1) = n-r+1 漸化式が成り立つ理由をご教授お願いします。

  • 素数と組み合わせの問題

    Z会の問題なのですが、わからないところがあるので質問します。 nは素数pと自然数mを用いて、n=p^mと表される数であるとする。このとき、次の各問に答えよ。 (1)r=1,2,・・・,n-1のとき、nCrはpの倍数であることを示せ。 (2)nと(2^n)-1は互いに素であることを示せ。 nCrが自然数であることなら帰納法でなんとかなると思ったのですが、pの倍数になることがどうしても証明できません。どなたか教えてください。

  • 素数の問題(場合の数)

    nが整数のとき、多項式n^3-10n^2-84n+840で表すことのできる素数はいくつあるか? 因数分解すると(n+2√21)(n-2√21)(n-10) と3つの積なりますが、( )の中身がみな違うので1*1*(なんとか)の3数の積で表すのは無理がある、と考えているで解き方の突破口が開けま せん。また、ルートがある(  )の部分はnが整数なので3つの積が素数 になる、というのも納得がいきません。。 もしかしたら因数分解そのものが間違っていたり、解答の指針そのものが 間違っているかもしれませんが、この問題が解ける方、何通りあるのか教えてくれませんか?!

  • (中学~数I)連続する整数nの問題

    過去問で解方法の意味が分からないので教えて下さい。 (1)あるパーティがあり、出席者同士で名刺交換が行われた。 出席者全員が自分以外の全ての者に名刺を配ったところ、配られた名刺の枚数は全部で600枚であった。パーティの出席者は何人か? n(n-1)=600 (n+24)(n-25)=0 n=-24,25 n>0より、n=25で答え25人 この解を求める方法がさっぱり分かりません。なんで25と24が出てくるのかさっぱりです。 (2)nを自然数とすると、n(n+1)(2n+1)は、ある数の倍数になる。 n(n+1)(2n+1)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)とこれのやり方はわかるのですが、 3つの積の和がなんで6になるのかわかりません。 n(n+1)(2n+1)を解くと、2n^3-n^2-2n+1になるし・・ よろしくおねがいします。

  • 2nCnー2nCn-1=(1/n+1)2nCn (カタラン数)が直観的に理解できますか?

    (2n)Cnー(2n)C(n-1)=(1/n+1)(2n)Cn (カタラン数)についてです。 式変形では成り立つことが分かるのですが、 直観的に当たり前だと思えません。 この式がなぜ成り立つのかを式変形ではなく、組合せの考え方で 日本語で説明できる方はいませんか? よろしくお願いします。

  • 整数の性質について

    ↓の証明がどうしても分かりません。 (1)ある自然数の平方とその数の和は偶数であることを連続する2つの自然数の積は偶数になることを利用して証明しなさい。 (2)3つの連続する整数では中央の数の2乗より1小さい数は両端の数の積と等しいことを証明しなさい。 (1)はある自然数をnとするとnの二乗+n=偶数になればいいんですよね?? (2)は整数をnとすると連続する3つの整数は(n-1)、n、(n+1)。 nの二乗-1=(n-1)(n+1)でいいんですか?? (1)も(2)も続きが分かりません。 どなたか教えてください!!お願いします。