素数の問題（場合の数）

質問

nが整数のとき、多項式n^3-10n^2-84n+840で表すことのできる素数はいくつあるか？

因数分解すると(n+2√21)(n-2√21)(n-10)
と３つの積なりますが、( )の中身がみな違うので１*１*(なんとか)の3数の積で表すのは無理がある、と考えているで解き方の突破口が開けま
せん。また、ルートがある( 　)の部分はnが整数なので３つの積が素数
になる、というのも納得がいきません。。

もしかしたら因数分解そのものが間違っていたり、解答の指針そのものが
間違っているかもしれませんが、この問題が解ける方、何通りあるのか教えてくれませんか？！

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞因数分解すると(n+2√21)(n-2√21)(n-10)
あくまでも、nは整数、考えている対象も素数なので因数分解は整数の範囲まででいいと思います。

つまり、(n^2- 84)(n- 10)の形でいいです。

あとは、質問中でも書かれているように
「どちらかの括弧内が 1（正確には±1）、もう一方が素数」
となる nを探せばよいことになります。

・n^2 -84が±1となるような 整数：nは存在しません。（n^2= 85 or 83となる nは存在しない。）

・よって、±1となるのは n- 10であることがわかります。

・n- 10=±1より、n= 11 or 9
n= 11のとき、n^2- 84= 121- 84= 37 ⇒ (n^2- 84)(n- 10)= 37
n= 9のとき、n^2- 84= 81- 84= -3 ⇒ (n^2- 84)(n- 10)= (-1)*(-3)= 3

素数であることが確認できたので、こたえは２つとなります。

お礼

なるほど、因数分解しすぎてましたね！
さらに、-1の場合を忘れていました。
疑問が解決しました！ありがとうございました！

回答No.2

aokii

因数分解は正しいです。
(n-10)(n^2-84)
素数は、掛け算にならないものですから、
(n-10)が1と-1になるのは、nが9と11のみで、
素数は、3と37のみになり、答えは2個？

お礼

＞素数は、掛け算にならないもの
そのような考え方で（nー10）=1,-1としていいんですね。
勉強になりました！
ありがとうございます！