数列

質問

お世話になります。意味不明で悩んでいます。
ある問題の参考書の解説の途中に
「1＋x＋xの2乗＋・・・・＋xのn-2乗＝1×(1-xのn-1乗)/1-x」・・・(1)
というのがり、
一方学校のテストの先生が書いた解説の途中に
「2×3+2×3の2乗+2×3の3乗+・・・・+2×3のn-1乗＝6×(3のn-1乗-1)/3-1」・・・(2)

というのがあるのですが(1)は納得いくのですが(2)の「6×(3のn-1乗-1)/3-1」がなぜ「6×(3のn乗-1)/3-1」にならないのかがわかりません。どうしてでしょうか？

回答No.5

debut · ベストアンサー

参考書の解説も、先生の解説もどちらも正しいですよ。

（２乗とかを ^2 で表します。また、* は かける とします。）
初項がａ，公比ｒの等比数列の第ｎ項は　ａｒ^(n-1)　ですよね。すると、参考書の解説にある数列は、初項１、公比ｘの等比数列なので、第ｎ項は　１*ｘ^(n-1)=ｘ^(n-1) のはずです。ところが、最後の項は ｘ^(n-2) になっていますね。ということは、この数列の和は初項から第ｎ－１項までのものということになります。
ｎ項までの和なら　１*(１－ｘ^n)/(１－ｘ) ですが、ｎ－１項までの和なのだから　１*{１－ｘ^(n-1)}/(１－ｘ)　となるので、参考書の解説通りですね。

一方、先生の解説の方も同様です。初項が６、公比３の等比数列で、第ｎ項は６*３^(n-1)　になるはずが、最後の項は、２×３^(n-1)＝２×３×３^(n-2)＝６*３^(n-2) と、第ｎ－１項目であるといえます。
よって、和はｎ－１項目までのものとなるから、６*{３^(n-1)－１}/(３－１)　となります。

お礼

ものすごい勘違いでした＞＜。
＞第ｎ項は６*３^(n-1)　になるはずが
ここで気付きました＋＿＋。ほんともっと勉強しなきゃです。
ありがとうございました。

回答No.7

postro

#1です
みなさんが書かれていることで十分ですが、一応返事します。
参考書も先生もどちらも正しい。（syunndaさんだけが間違えている）
和を求めるのに一般項は直接関係ありません。
だっていくら一般項がわかっても、第何項目までの和を求めるかによって結果が違うのは当然です。
だからわかりやすく「項数」と表現しました。
参考書の項数も先生が書いた解説の項数もどちらも n-1 です。
何項あるか数えてみてください。

お礼

２×３のｎ－１乗のｎ－１乗だけ見て考えてました。　ほんとばかでした。ありがとうございました。

回答No.6

noname#24129

A3とあわせてご覧下さい。これは、公式の適用をめぐっての解説ではありません。公式の導出が理解できていないために、公式の利用で混乱するのです。ここでは、公式を利用するのでなく、公式の導出方法を利用します。

　S=1+x+x^2+・・・・+x^(n-2)・・・(1_a)

とすると、

　xS=x+x^2+x^3+・・・・+x^(n-1)・・・(1_b)

である。(1_a)-(1_b)より、

　(1-x)S={1-x^(n-1)}

　　S={1-x^(n-1)}/(1-x)

これと、(1_a)から、

　1+x+x^2+・・・・+x^(n-2)={1-x^(n-1)}/(1-x)・・・(1)

この結果は、参考書の解説(1)と同じです。

なお、この場を借りて、A3の(2_a)-(2_b)を(2_b)-(2_a)に訂正させていただきます。

お礼

ようやく理解しました。基本に戻って勉強します。
ありがとうございました。

回答No.4

Centermoon

追加です。
syunndaの誤解は初項と一般項の取り扱い方で勘違いされているところからきていると思います。
初項が2X3　で末項が　2×3のn-1乗　のとき　末項は
2x3x(3のn-2乗)ですよね。
これを(3のn-1乗)と勘違いしてはいけません。初項の中に3が一つ入っているのですね。

補足

みなさんのおかげでなんとか理解できました＾－＾；
本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#24129

公式を利用するのでなく、公式の導出方法を利用します。
　S=2*3^1+2*3^2+2*3^3+・・・・+2*3^(n-1)・・・(2_a)
とすると、
3S=2*3^2+2*3^3+2*3^4+・・・・+2*3^n　　・・・(2_b)
である。(2_a)-(2_b)より、
　2S=2*3^n-2*3^1
(ここから結論(2)のひとつ手前まで飛びたいところですが、ねんのため、その過程を書くと)両辺を2で割って、
　S=3^n　　　-3
右辺を因数分解して、
　　S=3{3^(n-1)-1}
これと、(2_a)から、
　2*3^1+2*3^2+2*3^3+・・・・+2*3^(n-1)=3{3^(n-1)-1}・・・(2)
この結果は、先生が書いた解説の(2)と同じだと思いますが。

回答No.2

Centermoon

どちらもあってますよ。
「1＋x＋xの2乗＋・・・・＋xのn-2乗＝1×(1-xのn-1乗)/1-x」・・・(1)
左辺の最後はxのn-2乗で右辺の分子の部分は1-xのn-1乗ですよね。この添え字の関係　n-2　と　n-1　ですよね。
一方
「2×3+2×3の2乗+2×3の3乗+・・・・+2×3のn-1乗＝6×(3のn-1乗-1)/3-1」・・・(2)
で左辺を変形してみれば
2×3+2×3の2乗+2×3の3乗+・・・・+2×3のn-1乗
=2×3(1+3+3の2乗+・・・・・+3のn-2乗)　・・・(3)
となるので　6×(3のn-1乗-1)/3-1・・・(4)
となります。(3)、(4)から出てくる添え字の関係　n-2　と　n-1　は　(1)での添え字の関係と同じですよね。だからどちらも正しいです。

回答No.1

postro

初項：a
公比：r
項数：n
の等比数列の和は（r≠1)
a(1-r^n)/(1-r)
これは覚えましょう。これにあてはめれば
「2×3+2×3の2乗+2×3の3乗+・・・・+2×3のn-1乗＝6×(3のn-1乗-1)/3-1」・・・(2)
は、
初項：6
公比：3
項数：n-1
の等比数列の和だから
先生が書いたものが正しいです。

お礼

ということは参考書が間違いということでしょうか＞＜；。そうだとしたら大変なことですが。とりあえずわかってよかったです。ありがとうございました。

補足

ちょっと考えてみたのですがやはり変です。
初項a
公比r
項数n
だとしたら一般効の公式は「a×rのn-1乗」で和はの公式は「a(1-r^n)/(1-r)」ですよね。
先生のほうだと一般項が「2×3のn-1乗」ですから初項2公比3項数nの等差数列ですよね。だとしたらやはり「6×(3のn-1乗-1)/3-1」はおかしいのではないでしょうか？＋＿＋