数列の問題

質問

(x+1)(x+2)(x+3)………(x+n)の展開式において次の係数を求めよ。

(1) x＾(n-1) [xのn-1乗]の係数　これはわかりました！！　1/2*n*(n+1)だと思います。

(2) x＾(n-2) [xのn-2乗]の係数 がわからないんです。教えてください。

回答No.3

mickel131 · ベストアンサー

こういった問題は、いきなりｎで考えると難しいです。
n = 4 くらいにして、実験してみるといいのです。

f(n)=(x+1)(x+2)(x+3)………(x+n)
と置いて、
f(4)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
この式を展開すると、
f(4)=x^4+(1+2+3+4)x^3
+(１・２＋１・３＋１・４＋２・３＋２・４＋３・４）x^2
+(1・2・3+1・2・4+1・3・4+2・3・4)x +1・2・3・4
となります。
このx^2の係数がどうなっているか、ということでしょう？
１・２＋１・３＋１・４＋２・３＋２・４＋３・４
は、１から４までの数から、異なるペアを作ってかけたもの全部の和です。
この和をＳとおいてみましょう。
この和の中には、
１・１のように２個の同じ数で作った積は含まれていません。
１・１＋２・２＋３・３＋４・４
は登場しないのですが、Ｓを求める際に、この和を利用できそうですので、
Ｔ＝１・１＋２・２＋３・３＋４・４
と置いてみましょう。
また、Ｓの式中の数字の順序を入れ替えた、
Ｕ＝２・１＋３・１＋４・１＋３・２＋４・２＋４・３
という式を作ります。明らかに、Ｕ＝Ｓですね。
ここで、ＳとＴとＵを全部足した式を作ってみると、
Ｓ＋Ｔ＋Ｕ
＝（１・２＋１・３＋１・４＋２・３＋２・４＋３・４）＋（１・１＋２・２＋３・３＋４・４）＋（２・１＋３・１＋４・１＋３・２＋４・２＋４・３）
順番を入れ替えて並べなおしてみると、
Ｓ＋Ｔ＋Ｕ
＝（１・１＋１・２＋１・３＋１・４）
＋（２・１＋２・２＋２・３＋２・４）
＋（３・１＋３・２＋３・３＋３・４）
＋（４・１＋４・２＋４・３＋４・４）
＝１・（１＋２＋３＋４）
＋２・（１＋２＋３＋４）
＋３・（１＋２＋３＋４）
＋４・（１＋２＋３＋４）
＝（１＋２＋３＋４）・（１＋２＋３＋４）
＝（１から４までの和）^2
この値は公式を使って求められます。
また、Ｔは１の２乗から４の２乗までの和で、これも公式を使って求められます。
あとは、Ｕ＝Ｓをこの式に代入して
２Ｓ＝（１から４までの和）^2 -（１の２乗から４の２乗までの和）
を計算し、Ｓを求めることができます。
一般のｎについても、
Ｓ(n)=(1/2){(1+2+3+・・・+n)^2-(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2)}
と考えられます。
先の回答者がすでに答えられたものを焼きなおしただけです。

回答No.2

BBblue

まず。係数の２倍が
　　　　　　～～
　 1 2 3 … n-1 n
1｜ 1*2+1*3+…+1*(n-1)+1*n+
2｜2*1+ +2*3+…+2*(n-1)+2*n+
3｜3*1+3*2+ +…+3*(n-1)+3*n+
：
n｜n*1+n*2+n*3+…+n*(n-1)　　

となるのは良いでしょうか?
空欄の対角線部分に1*1、2*2、3*3、…、n*n を補うと？
（図がずれているのでわかりにくいかも）

これがわかれば
1/2{(1+2+3+…+n)^2－(1^2+2^2+3^2+…+n^2)}
として計算できます。

回答No.1

keyguy

0.5・Σ(k:1～n)・k・(-k+Σ(m:1～n)・m)