じゃんけんの確率

質問

３人でじゃんけんします。
Aは自分、Bは友達、Cは他人です。Aはどうしても勝ちたい。
BはAに勝たせたいので常にAに負ける手をだします。
このときAが勝つ確率はいくらでしょうか。
４人の場合はどうなりますか。
どうぞ教えてください。

回答No.4

peror · ベストアンサー

(1)Aが単独勝利の確率は1/3で、(2)ACが勝利する確率は1/3、(3)あいこが1/3。
(2)の場合、次はACのセメント対決なので、Aの勝つ確率は半分。よって、1/3×1/2＝1/6。
(1)の場合+(2)の場合＝3/6＝1/2
(3)の場合、また、２回目の勝負で(1)(2)(3)の可能性がある。(3)の場合で勝つ確率をP(3)とすると
P(3)＝{（(1)の場合+(2)の場合）+1/3P(3)}
2/3P(3)＝(1)の場合+(2)の場合＝1/2
P(3)＝3/4
よって、(1)の場合+(2)の場合+1/3P(3)＝1/3+1/6+1/4＝3/4
と、私なら考えますが、どうでしょう。

４人だと他人が２人ですか？

お礼

ありがとうございました！

補足

「４人以上の場合でも他人は一人だけ」、「Aを勝たせるための人間はn人いる」とお考えください。

回答No.13

totoro7683

No.2です。
４人の場合で他人が１人だけの場合ですが、この場合も
３人のときと同様の考え方で出来ます。
A,B,C,Dのうち、B,CはAの友達、Dが他人としましょう。
Aがかつ確率が最大になるのはBが常にAに負け、CがAと同じ手をだすときです。A,Cが勝つ確率は1/3,A.C.Dがかつ確率は1/3,あいこになるのが1/3です。A,Cが勝つとCは負けてくれるのでAの勝ち、A,C,Dが勝つと３人の場合に帰着、あいこはくりかえし。
1/3+1/3*3/4+1/3*(1/3+1/3*3/4)+1/3^2(1/3+1/3*3/4)+.....=7/8
となりかつ確率は7/8です。
一般にn+1人いて、１人だけ他人のときはAが勝つ確率は
(2^n-1)/2^nとなります。

お礼

わかり易い説明、ありがとうございました。

回答No.12

Ishiwara

ヘンですよねえ。Ａ以外の人が勝つことがあるんですか。具体的に例示してもらえませんか。

お礼

ありがとうございました！

補足

たとえばAが自分B、Cは友達Dは他人とします
AグーBは当然チョキCはグーしか出せません。
このときDがグーを出しました。３人の戦いです。
AグーBは当然チョキ、Dがグーを出しました。
AとDとの決戦でAが敗れる。ということはないですか。

回答No.11

kumoringo

No. 5 です。

4 人以上の場合でも他人は 1 人だけですか。だったら簡単です。3 人の場合と同じく 3/4 です。No. 5 は、友達が 1 人で残りは全員他人として計算した結果でした。

ちなみに、A の勝つ確率を最大にするならば、友達のうち 1 人だけ A に負ける手を出して、残りの友達は A と同じ手を出すようにするべきです。

お礼

ありがとうございました！

補足

そのとおりですAを勝たせるための最善の手を
友達たちが出すということです。
説明不足をお詫びいたします。

回答No.10

peror

No.4です。計算ミスをしておりました訂正します。

４人の場合、2人が他人として、Bは無視。
(1)A単独勝利は、CDが共に負けるので、1/3×1/3＝1/9
(2)AC勝利は、Dの単独負け、かつCの勝ちなので、1/3×1/3＝1/9

(3)AD勝利は、Cの単独負け、かつDの勝ちなので、1/3×1/3＝1/9

(4)ACD勝利は、CDともにAと同じなので、1/3×1/3＝1/9
(5)あいこは、CかDが、Aに勝つものを出した時。
CDどちらもAに勝つものを出さない確率は2/3×2/3＝4/9
よって、あいこの確率は、1-4/9＝5/9
(2)(3)の場合、次はセメントなので、1/9×1/2＝1/18
(4)も次はセメントなので、1/9×1/3＝1/27
(5)で勝つ確率をP(5)とすると
P(5)＝(1)+(2)+(3)+(4)+5/9P(5)＝1/9+1/18+1/18+1/27+5/9P(5)
4/9P(5)＝7/27　P(5)＝7/12
よって、1/9+1/18+1/18+1/27+5/9×7/12＝7/12
だと思うんだけど。

お礼

ありがとうございました

回答No.9

maimait

うちは二項定理を使って、No.5さんと同じ結果を出せました。ただ、No.5さんと同じように結果（を出す途中式から）一般式を作り出したので証明はありませんが、７人くらいまでの勝負を場合わけで計算したものと答えは一致したのであっていると思っています。

　出し方について皆さんの方法を見させていただきましたが、あいこの場合は無勝負ですので場合分けに入れる必要もないと思います。たとえば、Ａさんはパー、Ｂさんはグーを固定して出し、その他はパーかグーを各1/2の確率で出巣というような単純化すれば問題ないと思います。
　このあたりもNo.5さんのご意見どおりかな。

　勝率などを出すときは、今回のような引き分け時に自動的に再試合をするケースがありますが、そういったケースでは再試合になるケースを計算に入れないような式を立てると単純化できると思います。

　その証明ですが、勝負が引き分け再試合になる確立をqとします。勝負がく場合の勝率をpとおいてみましょう。また、これとは別に最終的な確率をPとおきます。引き分け再試合以降も勝ち上がる確率はPそのものであるため、
P = (1-q)p + q*P
　が成り立ち、P=p は簡単に証明できます。

お礼

ありがとうございました。

回答No.8

noname#24129

No.3です。間違っていました。訂正します。

P(C,W,3)=(1/3)*(1/3)*(1/2)　…(8)
P(C,W,4)={(1/3)^3}*(1/2)　…(9)
(7),(8),(9)より類推すると、

P(C,W,n)={(1/3)^(n-1)}*(1/2)　…(10)

したがって、P(C,W)=Σ_i(2 to n)P(C,W,i)と、(6)から、

P(A,W)=1-(1/2)[1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/{3^(n-1)}]　…(11)
　　　=1-(1/2)[{1/3-(1/3)^n}/{1-(1/3)}]
=1-(1/2)[{1-(1/3)^(n-1)}/2]
=1-(1/4){1-(1/3)^(n-1)}
ここで、n→∞を考えると、(1/3)^(n-1)→0なので、P(A,W)=3/4である。

何度もあいこが続くことはまれであるから、[ ]の中の第４項以下を無視して、近似的に、

P(A,W)=1-(1/2)(1/3+1/3^2+1/3^3)
={1/(2*3^3)}{2*3^3-(3^2+3+1)}
=(1/54){54-13}
=41/54=0.759…

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

masudaya

3人の場合のすべての条件を列挙してみましょう.
簡単のためグー：G,チョキ：C,パー：Pとします.
また「一人だけの勝者が出るまで続ける」を
一人だけの勝者が出るまで3人でじゃんけんを続ける.と解釈します.

A B C 結果

G C G やり直し
G C C Aの勝ち
G C P あいこ
C P G あいこ
C P C やり直し
C P P Aの勝ち
P G G Aの勝ち
P G C あいこ
P G P やり直し

となり,必ずAが勝ちます.
「一人だけの勝者が出るまで続ける」を他の方の解釈のよう勝ち抜きにする場合は,すでに回答がなされているようです.

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

peror

４人の場合、2人が他人として、Bは無視。
(1)A単独勝利は、CDが共に負けるので、1/3×1/3＝1/9
(2)AC勝利は、Dの単独負けなので、1/3
(3)AD勝利は、Cの単独負けなので、1/3
(4)ACD勝利は、CDともにAと同じなので、1/3×1/3＝1/9
(5)あいこは、CかDが、Aに勝つものを出した時。
CDどちらもAに勝つものを出さない確率は2/3×2/3＝4/9
よって、あいこの確率は、1-4/9＝5/9
(2)(3)の場合、次はセメントなので、1/3×1/2＝1/6
(4)も次はセメントなので、1/9×1/3＝1/27
(5)で勝つ確率をP(5)とすると
P(5)＝(1)+(2)+(3)+(4)+5/9P(5)＝1/9+1/6+1/6+1/27+5/9P(5)
4/9P(5)＝13/27　P(5)＝12/13
よって、1/9+1/6+1/6+1/27+5/9×12/13
だと思うんだけど。

お礼

真剣に考えていただいて、ありがとうございます。
もうだめ、わたしにはだめ。

回答No.5

kumoringo

n 人の場合に一般化して考えてみます。

無限級数にしなくても、単にあいこの場合は除外して考えればいいのではないかと思います。あいこになれば最初の状態が続くだけで確率の比率は変わらないので。

1 回目のじゃんけんが終われば B は必ず消えているので、その後の A の勝率は (1 / 残っている人数) です。すると、求めたい確率は、(1 回目のじゃんけんで k 人残る確率) / k を足し合わせれば求まります。

Combination を C( , ) の形で書くことにすると、求めたい確率は、

　(1/2^(n-2)) * [ C(n-2, 0) / (n-1) + C(n-1, 1) / (n-2) + ... + C(n-2, n-2) / 1 ]

と表されます。補足説明すると、例えば分配法則で展開した足し算の最初の項、(C(n-2, 0) / 2^(n-2)) * 1/(n-1) は、1 回目のじゃんけんで A と B を除いた n-2 人が全員 A に勝つ手を出す確率に、2 回目以降のじゃんけんを A と n-2 人で行って A が確率を掛け合わせたものとなっています。

上式に n=3 を代入すると 3/4 (No. 2 さんの答えと同じ) となります。以下、

　n=4 のとき 7/12
　n=5 のとき 15/32
　n=6 のとき 31/80
　n=7 のとき 63/192
　n=8 のとき 127/448

これを眺めて一般式で表せないかと考えたら、

　[ 2^(n-1) - 1 ] / [ (n-1) * 2^(n-2) ]

と表せそうです。証明はしていません。母関数使えば証明できそうな気もしますが。どなたか証明できる方がいればお願いします。

お礼

3/4ですか!うれしい。後は何が書いてあるのか
わたしにはさっぱり、わかる人には、わかるんですね。

回答No.3

noname#24129

以下のように記すことにする。

Ａが　勝つ確率：Probability(A,Winning)：P(A,W),
Ａが負ける確率：Probability(A,Loseing)：P(A,L),
Ｂが　勝つ確率：Probability(B,Winning)：P(B,W),
Ｂが負ける確率：Probability(B,Loseing)：P(B,L),
Ｃが　勝つ確率：Probability(C,Winning)：P(C,W),
Ｃが負ける確率：Probability(C,Loseing)：P(C,L),

仮定より、勝敗が決定するまで勝負を続けるのだから、

P(A,W)+P(A,L)=1　…(1),
P(B,W)+P(B,L)=1　…(2),
P(C,W)+P(C,L)=1　…(3),

また、Bは決して勝たないので、

P(B,W)=0　…(4)

であるから、(2),(4)より、

P(B,L)=1　…(5)

(5)より、最終的な事象は、P(A,W)またはP(C,W)であることから、

P(A,W)+P(C,W)=1　…(6)

求めたいのは、P(A,W)だけれど、(6)が利用できるので、P(C,W)について考えようと思う。

あいこを考慮に入れ、n回目にＣが勝つ確率をP(C,W,n)と記すことにする。
ただし、1回目に勝つことはないので、n>2である。
P(C,W,2)=(1/3)*(1/2)　…(7)
P(C,W,3)=(1/3)*(1/3)*(1/2)+(1/3)*(1/2)*(1/2)　…(8)
P(C,W,4)={(1/3)^3}*(1/2)+{(1/3)^2}*{(1/2)^2}+{(1/3)}*{(1/2)^3}　…(9)
(7),(8),(9)より類推すると、

P(C,W,n)={(1/3)^(n-1)}*{(1/2)^1}+{(1/3)^(n-2)}*{(1/2)^2}+…
　　　　　+{(1/3)^1}*{(1/2)^(n-1)}　…(10)

したがって、P(C,W)=Σ_i(2 to n)P(C,W,i)と、(6)から、

P(A,W)=1-[1/6+5/36+(2*2+2*3+3*3)/{(3^3)*(2^3)}+…]　…(11)

何度もあいこが続くことはまれであるから、[ ]の中の第４項以下を無視して、近似的に、

P(A,W)≒1-(1/6+5/36+19/216)=85/216=0.6064…

よって、高めに見て、およそ、６０％というのが、Ａの勝つ確率となる。

なお、(11)の括弧の中の一般項は、(10)であり、可能性としてはn→∞を考えねばならない。無限級数が収束する値を求めて、完全な確率は求められるだろう。あいこの回数の無限に続く場合までを考慮に入れると、Ａの勝つ確率は６０％よりも低くなると思われる。しかし、５０％はくだらないだろう。

５０％から６０％の間ぐらいではないかと思う。自信はないが、現実に、勝つ事象が求めた確率に一致するためには、何十回、何百回、何千回・・・それこそ無限に、じゃんけんしなければならない。百回程度でやらなくなるのだったら、あいこがつづく回数もそれほど多く考えなくていい。なぜなら、(1/3)^100は極めて小さな数だからだ。

言い換えれば、無限回のじゃんけんする決意もなく、完全な確率を求めて、それを信じるのは愚かである。

お礼

ありがとうございました！