6人でじゃんけんする時のあいこの確率

質問

6人でじゃんけんする時のあいこの確率をどうやって求めたらいいのか分かりません。３人ならなんとか分かるのですが、４人以上だと手の出し方の場合分けがすごく細かくなってしまうと思うんですが、順に数えるしかないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.6

Jackopoid · ベストアンサー

誠に申し訳ありません。3度目の正直です。
[全員が同じある1種類以上の手を出さない] 確率で重複となるケースを見落としていました。
確率は他の方の回答と同じになりました。

--------

じゃんけんするときのあいこの確率(3人以上)

n人でじゃんけん。グー、チョキ、パーを出す確率をa, b, c とする。

[あいこ] = 1 - [勝ち負けが決まる]
= 1 - [全員が同じある1種類の手を出さない]
= 1 - [全員が同じある1種類以上の手を出さない] + [全員が同じある1種類の手を出す]
= 1 - [全員が同じある1種類の手を出さない] + [全員が同じある1種類の手を出す]

[全員が同じある1種類以上の手を出さない] = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n - [全員が同じある1種類の手を出す]
[全員が同じある1種類の手を出す] = a^n + b^n + c^n

[あいこ] = 1 - (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n + 2( a^n + b^n + c^n )

a=b=c=1/3, n=6 のとき、

[あいこ] = 1 - 3(2/3)^6 + 2・3(1/3)^6 = 1 - 2^6/3^5 + 2/3^5 = (243 - 64 + 2)/243 = 181/243

お礼

丁寧なご回答ありがとうございました！大変お手数おかけしましたのでベストアンサーに選ばせて頂きました。

回答No.10

trokky

あいこにならない場合を考えます。
じゃんけんの手が２種類のとき、敗者と勝者が生まれます。
その確率は

3_C_2 * [(2/3)^6 - [(1/3)^6]*2]　（[２種類えらぶ組み合わせ数]×[みんながその２種類のみ出す確率 － そのうちみんな一緒のを出す確率]）
以下計算
= 3 * (2^6 - 2)/(3^6)
= (8^2 - 2)/(9^2 * 3)
= 62/243

あいこにはそれ以外の時なので、
1 - 62/243 = 181/243

こんな感じでn人でもいけると思います。

回答No.9

yyssaa

済みません。ANo.8を以下の通り訂正します。
6人全員がグーかチョキを出す確率は(2/3)^6
6人全員がグーの確率は(1/3)^6
6人全員がチョキの確率は(1/3)^6
よってグーとチョキで勝負がつく確率は
(2/3)^6-2*(1/3)^6
勝負のつき方は3通りあるので、勝負がつく確率は
3*{(2/3)^6-2*(1/3)^6}=62/243
よって、あいこの確率=1-62/243=181/243・・・答え

回答No.8

yyssaa

6人全員がグー、チョキ、パーのうちの2種類を出す確率は
3C2(2/3)^6=64/243
よって求める確率=1-(64/243)=179/243・・・答え

回答No.7

stomachman

こちらをご覧あれ
http://okwave.jp/qa/q3962635.html

回答No.5

Jackopoid

すみません。- + を書き違えました。答えはそのままです。

じゃんけんするときのあいこの確率(3人以上)

n人でじゃんけん。グー、チョキ、パーを出す確率をa, b, c とする。

[あいこ] = 1 - [勝ち負けが決まる]
= 1 - [全員が同じある1種類の手を出さない]
= 1 - [全員が同じある1種類以上の手を出さない] + [全員が同じある1種類の手を出す]

[全員が同じある1種類以上の手を出さない] = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n
[全員が同じある1種類の手を出す] = a^n + b^n + c^n

a=b=c=1/3, n=6 のとき、

[あいこ] = 1 - 3(2/3)^6 + 3(1/3)^6 = 1 - 2^6/3^5 + 1/3^5 = (243 - 64 + 1)/243 = 180/243 = 20/27

回答No.4

naclav

書きながら適当に考えています。間違ってる気がします。

・６人が出す手の組み合わせは全部で３の６乗＝７２９
そこから「あいこにならない場合の数」を引く。

・６人であいこにならないのは
「６人の出した手が２種類だけ」の時

・「２種類の手の組み合わせ」は
「グー：チョキ」「チョキ：パー」「パー：グー」の３種類

・「２種類の手をだす人数の組み合わせ」は
「５：１」～「１：５」までの５種類

・６人「A氏」～「F氏」の「誰がどっちの手を出すかの組み合わせ」は

「５：１」「１：５」の時は６種類ずつ
（１のほうの手を出したのがA,B,C,D,E,Fで６種類）

「２：４」「４：２」の時は１５種類ずつ
（２のほうの手を出した組み合わせがAB～AF,BC～BF,CD～CF,
DE～DF,EFで５＋４＋３＋２＋１＝１５種類）

「３：３」の時は２０種類
（片方の手を出した組み合わせが
ABC～ABF,ACD～ACF,ADE～ADF,AEFの４＋３＋２＋１＝１０種類
BCD～BCF,BDE～BDF,BEFの３＋２＋１＝６種類
CDE～CDF,CEFの２＋１＝３種類
DEFの１種類、を全部合わせて２０種類）

・なので、「あいこにならない場合の数」は
（６×３×２）＋（１５×３×２）＋（２０×３）＝１８６
７２９－１８６＝５４３

あいこになる確率は５４３/729

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.3

Jackopoid

じゃんけんするときのあいこの確率(3人以上)

n人でじゃんけん。グー、チョキ、パーを出す確率をa, b, c とする。

[あいこ] = 1 - [勝ち負けが決まる]
= 1 - [全員が同じある1種類の手を出さない]
= 1 - [全員が同じある1種類以上の手を出さない] + [全員が同じある1種類の手を出す]

[全員が同じある1種類以上の手を出さない] = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n
[全員が同じある1種類の手を出す] = a^n + b^n + c^n

a=b=c=1/3, n=6 のとき、

[あいこ] = 1 - 3(2/3)^6 + 3(1/3)^6 = 1 - 2^6/3^5 + 1/3^5 = (243 - 64 - 1)/243 = 180/243 = 20/27

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.2

suko22

＞順に数えるしかないのでしょうか？

余事象で考えると何人でも同じように数えられると思います。

（あいこの確率）＝1－（誰かが勝つ確率）

手の出し方の場合の数は、3^6通り。

(1)1人が勝つ場合の数
　6人のうち誰が勝つかで、6C1通り。
　それぞれどの手で勝つかで3通り。
　よって、6C1*3通り。

(2)2人が勝つ場合の数
　6人のうち誰が勝つかで、6C2通り。
　それぞれどの手で勝つかで3通り。
　よって、6C2*3通り。

(3)3人が勝つ場合の数
　6C3*3通り

(4)4人が勝つ場合の数
　6C4*3通り

(5)5人が勝つ場合の数
　6C4*3通り

よって、1-（6C1+6C2+6C3+6C4+6C5)*3/3^6=181/243・・・答え

補足：
これをn人に一般化すると
1-(nC1+nC2+・・・・・+nCn-1)*3/3^n

2項定理
(1+1)^n=nC0+nC1+nC2+・・・nCnから
nC1+nC2+・・・+nCn-1=(2^n)-2の公式を上記に代入すると

n人のあいこの確率
1-{(2^n)-2}/3^(n-1)
となると思います。

ご参考までに。

お礼

n人の時の考え方までありがとうございました。すごく勉強になりました。

回答No.1

Tacosan

あいこに「ならない」確率を計算する方が簡単だろうなぁ.

お礼

確かにそうですよね・・数え切れなさそうな時は余事象ですね。ありがとうございました！