５人でジャンケンをしてあいこになる確率

質問

はじめまして。

５人でジャンケンをしてあいこになる確率を求めます。

（１）全員が同じ手を出す場合。
最初の人が出した手を同じのを残り４人がだす確率となるので、
1 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 = 1/81

（２）３種類の手がすべて出る場合。
(A)手の出方が○○○△(チェック)となる場合。
○○○△(チェック)が１列に並ぶ場合を考える。
○がグーチョキパーのどの手になるかで３通り。
また、△の並び方で5C1通り、残る○３つと(チェック)１つの並び方で4C1通り
よってこの場合
3 * 1/3^5 * 5C1 * 4C1 = 20/81
(B)手の出方が○○△△(チェック)となる場合。
○○△△(チェック)が１列に並ぶ場合を考える。
(チェック)がグーチョキパーのどの手になるかで３通り。
また、○の並び方で5C2通り、残る△２つと(チェック)１つの並び方で3C1通り
よってこの場合
3 * 1/3^5 * 5C2 * 3C1 = 30/81
(A),(B)はそれぞれ排反なので、(2)の確率は20/81 + 30/81 = 50/81

以上(1),(2)はそれぞれ排反なので、求める確率は1/81 + 50/81 = 51/81 = 17/27

この計算は正しいでしょうか？
また、より効率のいい計算方法があれば教えていただきたいです。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

その計算で合ってます。

別の考え方は、
あいこにならないのは、５人がグーチョキパーのうち２種類の手を出したときです。
たとえば、５人がグーとチョキだけを出す確率は、
(2^5-2)/3^5
２を引いているのは、５人ともグーまたはチョキを出した場合を除くためです。

グーとパー、チョキとパーの場合も含めると、
3*(2^5-2)/3^5 = 90/243 = 10/27

あいこになる確率は、
1 - 10/27 = 17/27

お礼

お二人ともありがとうございます。
そうですね、余事象を計算したほうが楽ですね。助かりました。

回答No.2

k_kota

個人的には勝負が決まる確率を求めて引いたほうが早い気がします。
つまり出したものが2種類になるパターンの列挙

ある人の出すものは固定して、残り4人の誰かが勝つパターンを全部求めれば
あとは数字の計算だけです。