組合せの計算

質問

組合せの計算で、Cの右側がマイナスになってしまった場合（例えば4Ｃ-21）、どのように計算すればいいのでしょうか？4Ｃ-21の答えは3276らしいのですが…。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

いろいろ考えてみました。

答案1: 良く知られているように、nCm=n!/(m!(n-m)!)である。そして階乗 ! はガンマ関数によって拡張できる。すなわち、非負の整数zについて
Γ(z+1) = z!
であるから、z＜0の場合でもこの関係式が成り立つものと考えれば良い。Γ(z)は任意の実数zにおいて定義される。（なお些細な事ではあるが、zが零または負の整数の場合だけは、Γ(z)は発散して値を持たない。）

答案2: もちろん、答案1は間違っています。nCmにおいてmが負の整数なのだから、まさしくΓ(m+1)が定義されない場合に該当してしまい、公式は使えないのです。やはり式にばかり頼らず、もっと基本から考え直さなくてはいけません。さて、例えば4C2は「商品棚に4個の品物があります。そこから2個の品物をとるやり方は何通りありますか」の答です。だから、4C-21とは「商品棚に4個の品物があります。そこに21個の品物を返すやり方は何通りありますか」の答でなくてはいけません。ということは、元25個あったものから21個盗ったのだけれども、犯行が大胆すぎて発覚し、品物を返すはめになったに違いないのです。返すやりかたは１通りですが、何を盗ったのかが問題です。25個のうちから21個を盗ったのだから、盗り方は25C21=12650通りある。3276は間違いです。

答案3: もちろん、答案2は間違っている。犯行時の取り方など問題ではなく、あくまでも「返すやり方」が問題なのであり、やりかたは沢山ある。実際に数え上げてみよう。(1)「俺がやったんじゃない、いつの間にかポケットに入っていたんだ」(2)「え、これ試供品じゃなかったんですか」（3)… (3276)「…被告は12650回もの身勝手な犯行を重ねたものであり、従って極刑もやむを得ないものとすべきである」。ほら、3276通り。

　いずれも落第です。
3276 = 28C3 = 28C25
なんですけど、どこをどうひねれば、4Ｃ-21と繋がるんだろ？こりゃ誤植か何かじゃないのかなあ。

お礼

分かりやすいご回答、ありがとうございました。
どうも３２７６は間違いのようですね。
もう一度よく問題を読み直して考えてみます。

回答No.2

mmk2000

ちょっと面白そうなのでかんがえてみました。定義に戻ってみると
mCn=m!/n!(m-n)!
なので、与式は
4C(-21)
=4!/(-21)!(4+21)!
=4!/(-21)!25!

ここで、負の数の階乗があるのかを調べてみると参考URLのようなものが見つかりましたが、これは負の数以外で「階乗」を定義されているため、どうしても(-21)!が計算できませんでした。

どうやって3276がでてくるんでしょうね…

ちなみに↓も参考になると思います。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=754078

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。
3276は間違いのようですね。
紹介してくださったＵＲＬも参考にして、もう一度解きなおしてみます。

回答No.1

gyamboi

そんな場合ってあり得るのですか？

お礼

自分でも「ありえるのかな？」とは思ったのですが、
私の乏しい数学力だと、この計算しかでてこなかったので、質問しました。もう一度解きなおしてみます。
ありがとうございました。