組み合わせの数についてなのですが

質問

初歩的な質問かもしれません

例えば6人の生徒をABCの3組に分ける組み合わせの数を求める場合

6c2×4c2×2c2　で求めますが

6c2は「6人から2人を選んでA組に入れる」　という計算
4c2は「4人から2人を選んでB組に入れる」という計算だと思います。

しかしこの4人は「6人から2人を選んだ時の組み合わせ」次第で、パターンが変わってくると思うのですが
なぜ4c2だけでいいのでしょうか?

回答No.2

ORUKA1951 · ベストアンサー

掛け算と言うことは、互いに独立しているという事ですよ。
掛け算とは、(小学校2年の復習ですが)同じ数を何回足し続けるかと言う意味でしたね。
ミカン３個が載った皿が４枚あるときは、3+3+3+4 = 12 ですが、これを3×4と書く決まりでしたね。
　ちょっと数を「ABCDの４個から２個取り出す」と減らして考えて見ましょう。
まず、基本は順列です。
最初に来る数はABCDのいずれにおいても
　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
Aを選んだら、次は残りのBCDからひとつ選ぶのですが、最初にBやC,Dのどれを選んでも、
全く独立に3通りの選択肢がありますから、
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
3(それぞれ)通り×4(最初の選び方)で、12通りです。
AB AC AD　　BA BC BD　　CA CB CD　　DA DB DC　3×4
★これら最初の選び方がなんであれ、次の選び方が互いに独立だから掛け算で計算できます。
　交換則で、X×Y = Y×Xですから、全体の数をm、取り出して並べる数をnとすると、
mPn = m×(m-1)・・×(m-n) → m!/(m-n)!

これが組み合わせになると、
AB AC AD　(BA) BC BD　　(CA) (CB) CD　　(DA) (DB) (DC)
の()はすでに出ています。この場合は、互いに独立して「並べ方無視」になりますから、掛け算--(1/2をかける)--ことになります。
mCn = m!/n!(m-n)!

　順列組み合わせ、あるいは確率でも注意しなければならないのは、独立しているかしていないか・・

※例えば6人の生徒をABCの3組に分ける組み合わせの数を求める場合、₆C₂×₄C₂×₂C₂で求めますが、₆C₂は「6人から2人を選んでA組に入れる」　という計算で₄C₂は「4人から2人を選んでB組に入れる」という計算です。しかしこの4人は「6人から2人を選んだ時の組み合わせ」次第で、パターンが変わってきますから、
互いに独立しています。!!
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
先の４人で考えると、
ABが選ばれたときはCD
ACが選ばれたときはBD
ADが選ばれたときはBC
BCが選ばれたときはAD
BDが選ばれたときはAC
CDが選ばれたときはAB
と互いに独立して重複したものがありません。よって、
(小学校の復習) 1通り(二つ目のグループの選び方)×6通り(最初の選び方)
となり、掛け算なのです。同じものを６回加える。

ややこしくなるのは、A,A,B,B,B,Cのように重複したものがあるときです。

お礼

皆さんありがとうございます。

回答No.4

Tacosan

次の記述を読んでください:
A, B, C, D, E, F の 6人を 1列に並べるときの並べ方は 6×5×4×3×2×1 = 720通り.

何か疑問に思うところはありませんか?

回答No.3

178-tall

具体的なイメージをつかみため、ペアの「一覧リスト」を作ってみる、という手があります。

生徒 6 人それぞれに {P1, P2, P3, P4, P5, P6} などとラベルを貼らないと、問題が成立しない。
…それを念頭に、下表のような一覧リストを完成させてみれば、その疑問が錯誤だとわかるかも…。

[組]　　　　A　　　　　B　　　　　　C
　1　　{P1, P2}　　{P3, P4}　　{P5, P6}
　2　　{P1, P2}　　{P3, P5}　　{P4, P6}
　3　　{P1, P2}　　{P3, P6}　　{P4, P5}
　4　　{P1, P2}　　{P4, P5}　　{P3, P6}
　5　　{P1, P2}　　{P4, P6}　　{P3, P5}
　6　　{P1, P2}　　{P5, P6}　　{P3, P4}
　7　　…　…

6_C_2 の 1 パターン (A 組) だけ示しました。

B 組のペアが 4_C_2 通り、C 組のペアが 2_C_2 通り…だと一目瞭然。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞パターンが変わってくると思うのですがなぜ4c2だけでいいのでしょうか?

求める式で「パターンが変わってくる分」を「掛け算」で計算してます。

C組を作る「２人から２人選ぶ」は１通りですが、その「１通り」は「AとBを作るパターンの数」だけあります。

B組を作る「４人から２人選ぶ」は６通りですが、その「６通り」は「AとCを作るパターンの数」だけあります。

A組を作る「６人から２人選ぶ」は１５通りですが、その「１５通り」は「BとCを作るパターンの数」だけあります。

なので「A組を作るパターンの数×B組を作るパターンの数×C組を作るパターンの数」で、全体の組み合わせの数（パターンの数）が求まります。