デルタ関数が絡んだ証明問題

質問

∇^2(1/r)=-4πδ(r→)
を証明したいのですが、とっかかりが無く困っています。
デルタ関数があるので、とりあえず積分するのかなと思いましたが
先に進みません。

r→はRベクトル
r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2) です。

ご教授願います。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

デルタ関数をどのように定義するかにもよるのですが、デルタ関数の直感的な定義としては、
1.r→≠0(ゼロベクトル)なら、δ(r→)＝０
2.∫δ(r→)dV＝1　(原点を含む任意の領域上の積分)
を満たすδがデルタ関数です。
なので、基本的にはこの２つを示せばＯＫです。
つまり、-(1/4π)∇^2(1/r)が、上の1,2番の性質を持っている事を確認すればいいことになります

1番の性質は、直接∇^2の計算を実行すれば確認できます。
2番の性質は、原点を含む領域で積分を実行すれば確認できます。積分が計算できればどんな領域でもいいのですが、原点中心で半径Ｒの球上で積分するのが簡単です。ヒントとしては、∇^2(1/r)=div(grad(1/r))とガウスの定理を挙げておきましょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど！ガウスの定理を使うんですね。

回答No.2

ringohatimitu

本質的にはNo.1さんの回答で十分かとも思いますが正確にはこれはdistributionの話ですよね。ただ単に左辺を（ルベーグ）積分すれば当然ながら０です。原点以外ではラプラシアンが０（基本解）ですから自明です。なので意味付けするために滑らかなコンパクトサポートを持つ任意の関数ψをdistributionの意味で両辺に作用させそれらが一致することを示すというのが問題の意味するところだと思われます。そのとき左辺は"定義"により∫1/rΔψ（積分範囲はR^3）となります。もちろんこの積分は絶対収束します。そこで部分積分を利用するためこの積分をR^3＼U_ε（原点中心半径εのボール）上での積分の極限値（ε→０）と捉えます。そうすると今度は発散定理が文句無しに使えて２回使ったあとにΔ(1/r)を含む積分（R^3＼U_ε上）と∂U_ε上の積分が２項現れます。Δ(1/r)を含む積分（R^3＼U_ε上）は被積分関数が０なので当然０で、その他の２項のうち一項は上から評価してやればすぐにε→０で消えることがわかります。結局残るのは次の積分です：∫_(∂U_ε) ∇(1/r)・ψ(r)dr
∇(1/r)を計算して変数変換により単位球面上の積分にすればε→０で4πψ(0)に収束することがすぐ分かります。これは右辺にψをdistributionの意味で作用させたものに他なりません。

お礼

回答ありがとうございます。
詳しい説明ありがとうございました。