連続の証明についての質問
- f(x)=x^3がRで連続であることの証明について疑問があります。
- また、f^-1:fの逆関数がRで連続であることの証明がうまくいきません。
- 具体的には、(*)から先の変形がうまくいきません。どなたか、わかる方、お教えください。
- ベストアンサー
連続の証明についての質問
f(x)=x^3がRで連続であることの証明は ∀y∈Rに対して、∀ε>0,∃δ>0,|x-y|<δ⇒|x^3 - y^3|<εをいえばよい ので、証明は (証明) δ = min{ε/(2|y|+1)^2,1} とおき、|x-y|<δとすれば、 |x^3-y^3|=|(x-y)|*|(x^2+xy+y^2)|≦|(x-y)|*(|x^2|+|xy|+|y^2|) <δ*(|x|+|y|)^2<δ*(|y+δ|+|y|)^2≦δ*(|2y|+δ)^2 ≦δ*(|2y|+1)^2 (δ≦1より) ≦ε (δ≦ε/(2|y|+1)^2より)■ でおそらくできていると思うのですが、f^-1:fの逆関数がRで連続である ことの証明がうまくいきません。 y=f(x)とおくと、f(x)=x^3から、f^-1(y)=x=y^1/3 (yの3分の1乗)となり、 ∀z∈Rに対して |f^-1(y)-f^-1(z)|=|y^1/3-z^1/3| …(*) (*)から先の変形がうまくいきません。どなたか、わかる方、 お教えください。
- tyuji
- お礼率16% (5/30)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数1
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは。#3です。 >1つだけ質問です。|z-y|<δ ⇒|z-y|<εはδ=εとおいたということ でしょうか? はい、そうです。 >(y,z)=(0,0)でないときδ=Kεとおくと、 >|y^{1/3}-z^{1/3}| =|(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})| ≦|y-z|/K < δ/K=ε 厳密的なことですが、ここでKはεに依存します。任意のzと任意のε>0に対してKが決まるのです。正確には、ε<kとしてkを選ぶべきですね。したがって、δ=kεとするのは間違っています。ですから、最後の行は ≦|y-z|/K < ε/K とすべきです。Kがあって、すっきりしないように感じるかもしれませんが、この示し方でも間違ってはいません。 ※大変申し訳ありませんが今日はもう休みますので、これ以上の質問は明日返答いたします。
その他の回答 (3)
- uzumakipan
- ベストアンサー率81% (40/49)
#2です。ちょっと間違っているところがあります。 >この|z-y|<εを満たすyに対して、K=min{y^{1/3},y^{2/3},z^{1/3},z^{2/3}}とすると、 >y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}≧4k kが負の数となってしまう場合もあるので |z-y|<εを満たすyに対して |y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}|≧K>0 を満たすKを選べばよいですね。
- uzumakipan
- ベストアンサー率81% (40/49)
こんばんは。 (y^{1/3}-z^{1/3})(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})=y-z を利用します。この式から y^{1/3}-z^{1/3}=(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}) いま、任意のz∈Rと任意のε>0に対して、適当なδ>0が存在して |z-y|<δ ⇒|z-y|<ε が成り立つ。 この|z-y|<εを満たすyに対して、K=min{y^{1/3},y^{2/3},z^{1/3},z^{2/3}}とすると、 y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}≧4k であるから、 |y^{1/3}-z^{1/3}| =|(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})| ≦1/{4k}・|y-z| ≦1/{4k}・ε εは任意であるから、y^{1/3}はRで連続である。 といった方針でよろしいんじゃないでしょうか? ※普通は、こういった問題は (1)lim_{y→α}y^{1/3}=α^{1/3} を示す。 もしくは位相空間論の (2)全単射の連続写像は、その逆写像も連続である。 ということから、y^{1/3}の連続性を示します。
補足
1つだけ質問です。|z-y|<δ ⇒|z-y|<εはδ=εとおいたということ でしょうか? まとめると、下のような感じでしょうか? |z-y|<δを満たすyに対して |y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}|≧K>0 を満たすKを選ぶ。(y,z)=(0,0)のとき、|y^{1/3}-z^{1/3}|=0<ε (y,z)=(0,0)でないときδ=Kεとおくと、 |y^{1/3}-z^{1/3}| =|(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})| ≦|y-z|/K < δ/K=ε
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
0 の近傍は別に考えなきゃならないけど有理化してみる?
補足
(*)=|y-z| / |y^2/3+y^1/3*z^1/3+z^2/3| (y,z)=(0,0)は除く ということでしょうか?
関連するQ&A
- Uniform Continuity (一様連続性?) の証明
以下の問題の証明が成立するかどうかどなたかご意見をお聞かせください。 f(x)=1/[(x^2+1)^(1/2)] (x二乗プラス1の平方根 分の1) が Rにおいて Uniform Continuous であることを定義を使って証明せよ。 定義:全ての epsilon>0 において delta>0 が存在し、そして |x-y|<delta で、x, aがfのランジにあることが |f(x) - f(y)|<epsilon を示唆すればこのfはuniformly continuousである。 証明) |f(x) - f(y)| = | 1/[(x^2+1)^(1/2)] - 1/[(y^2+1)^(1/2)] | これを変形 (x^2+1=A, y^2+1= B とする)して、 |(x+y)(x-y)|/ |(A)^(1/2) * (B)^(1/2)*[(A)^(1/2) +(B)^(1/2)]| <= |(x+y)(x-y)|/|xy(x+y)| <= |x-y|/|xy| <= |x-y| < epsolon. よって epsilon = delta と設定する。 ややこしいですがどうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連続関数の逆関数の連続性の証明について
連続関数の逆関数の連続性の証明について、分らないことがあります。 検索して出てくるサイトの証明や本の証明などとは少し違った証明のやり方なのですが、どこを探して理解すればいいのかさっぱりわかりません。 f(x)の逆関数をg(y)としたとき、 limg(y+h)=limg(y+h)=g(y)が成り立つことを示す、というものです。 (この式のlimの下は、左からh→0+0,h→0-0です) ここでの記述は難しいと思いますので、参考になるサイト、もしくは本を教えていただけないでしょうか? どうしても気になるので、教えていただけると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数の不連続について
こういった関数f:R→Rを考えます。 『f(x) = n if n <= x < n+1 , n∈R』 このとき、fは不連続であることをε-δで示す問題が解けません。 |f(x) - f(y)|は整数値になるので、εを例えば1/2とでもおけば、 どうにか証明できるのかなと思うのですが、 もしxもyも同じ[n,n+1)の間にいれば、|f(x) - f(y)|は0になってしまい、 むしろ連続であることを証明してしまうのではないかと思います。 どうにか不連続であることを証明できますでしょうか? もしくは実は連続なのでしょうか? 舌足らずな文章で申し訳ありませんが、ご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分係数の連続性の証明
関数 f(x,y)= { 0 if(x,y)=(0,0) xy/√(x^2+y^2 ) otherwise } fの偏微分係数の連続性について確認してください。また、fは点(0,0)において微分可能でないことも示す。
- 締切済み
- 数学・算数
- 一様連続の証明問題です
R上で定義された連続関数fが lim[x→+∞] f(x)=0 をみたすとする このときfは[0,∞)上で 一様連続であることを証明せよ. ※証明にはε-δ論法を用いよ という問題なんですが まったく歯がたちません どなたか教えてください お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (0,0)で連続?不連続?
大学2年生です! 数学の問題でよく分からないところがあるので誰か助けてください。。 f(X,Y)=XY/(X^2+Y^2) (X,Y)が0以外 0 (X,Y)=(O,O) という関数が(0,0)で連続でないことを示さなければならないのですが、私はどうしても連続にしか思えないんです。 どなたか分かる方がいらっしゃいましたらご教授下さい!! ちなみに私はX=rcosA,Y=rsinAとおいてA→0の極限をとって考えました。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏導関数の連続性の証明について
記号の説明 Ball[(a,b),r):={(y,z)∈C^2;|(a,b)-(y,z)|<r}, Disc[a,r):={y∈C;|y-a|<r}。 [Claim] Y,Z⊂Cとし,z_0∈Zとする。複素関数f∈Map(Y×Z,C)は連続とする。 もし,g(y):=∃lim[z→z_0](f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)∈Map(Y,C)ならgはYで連続となる。 [Proof] h(y,z):=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0) (z≠z_0の時), g(y) (z=z_0の時) と置くと,hはY×Zで連続であるから 任意のy∈Y,0<εについてh(Ball[(y,z_0),δ_{y,ε})⊂Disc[h(y,z_0),ε)なる0<δ_{y,ε}が存在する. これは 任意のy∈Y,0<εについてg(Ball[(y,z_0),δ_{y,ε})⊂Disc[g(y,z_0),ε)なる0<δ_{y,ε}が存在する. と書き換えれる。 よってgはYで連続となる。 (終) としたのですがこれで正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の証明の質問です。
この証明がわかりません 関数u=1/r,ただし、r=(x^2+y^2+z^2)^0.5が下記の方程式を満たすことを証明せよ。 (∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2 + (∂u/∂z)^2=0 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。これで全て理解できました。グラフや (2)全単射の連続写像は、その逆写像も連続である。を利用す れば、明らかとも言えるような質問内容にも関わらず、丁寧に回答 して頂き、助かりました。