Uniform Continuity （一様連続性？） の証明

質問

以下の問題の証明が成立するかどうかどなたかご意見をお聞かせください。

f(x)=1/[(x^2+1)^(1/2)]　
(ｘ二乗プラス１の平方根　分の１）

が　Rにおいて　Uniform Continuous であることを定義を使って証明せよ。

定義：全ての　epsilon>0　において　delta>0　が存在し、そして　
|x-y|<delta　で、x, aがfのランジにあることが　
|f(x) - f(y)|<epsilon
を示唆すればこのfはuniformly continuousである。

証明）
|f(x) - f(y)|
= | 1/[(x^2+1)^(1/2)] - 1/[(y^2+1)^(1/2)] |

これを変形 (x^2+1=A, y^2+1= B とする)して、

|(x+y)(x-y)|/
|(A)^(1/2) * (B)^(1/2)*[(A)^(1/2) +(B)^(1/2)]|

<= |(x+y)(x-y)|/|xy(x+y)|
<= |x-y|/|xy|
<= |x-y| < epsolon.

よって　epsilon = delta と設定する。

ややこしいですがどうぞよろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

最後の/|xy|を取り除いているところは問題です。
もし|xy|が1より小さいと不等号が逆転します。
それはただ文字の使い方がconfuseしているだけだと思うのですが、
最後の結論の仕方は、ややε-δ論法の作法に反しているように思います。

もう一度落ち着いて計算されたらよいと思いますが、
|f(x)-f(y)|≦|x-y|
という結論が導かれます。
したがってリプシッツ定数1のリプシッツ連続関数なので、
特に一様連続なんですが、真面目にε-δ論法を使えば、
ε>0に対して、δ:=εとすれば|x-y|<δのとき|f(x)-f(y)|<εが成り立つ、
という感じです。

おそらくそういうつもりで書かれているとは思いますが、
あくまでもε>0は初めに与えられた定数であり、
δをその定数εにのみ応じて定めたのだ！ということを
よくよく強調して書かれた方がよいです。特に初めのうちは。
上の文だとどうもεをδによって決めているという風な印象を受けます。
それでは論証とて間違っていることになりますので。

お礼

Thank you very much for your response. I made the following correction, I hope you can tell me your opinion again. If you cannot understand english please let me know, I'll write in Japanese when I have access to my computer.

Proof corrected:

If we take Delta:= epsilon, then |f(x) - f(y)|

= |x+y||x-y|/AB(A+B) <= |x-y|/A+B

Because A+b=>1, |x-y|/A+B <= |x-y| < epsilon

Therefore f is uniformly coninuous.

補足

先日返事を差し上げたのですが日本語のコンピューターではなく英語でお礼を差し上げましたので、改めて日本語でお礼したいと思います。まだご指摘いただいた通りに解答を改善できたかは不明ですが、貴重なご意見をありがとうございました。またよろしくお願いします。