このベクトル証明問題を解いてください

質問

平面上にベクトルＸ，Ｙ，Ｚがあり、Ｘ＝Ｙ＝Ｚではなく、かつＸ・Ｙ＝Ｙ・Ｚ＝Ｚ・Ｘふがなりたっているとする。この時Ｘ+Ｙ+Ｚ＝０であるための必要十分条件は（Ｘ）＝（Ｙ）＝（Ｚ）であることはどうやって証明すればいいのですか？
・は内積　（）は絶対値記号です

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

あまりスマートには出来ていませんが, なす角を中心とする方針の解を示します.

[証明]
平面上に3ベクトルx,y,z (ベクトル記号は省略)があるとして,
x=y=z ではない ・・・(1)
x・y=y・z=z・x ・・・(2)
のもとに

x+y+z=0 ・・・(A)
と
|x|=|y|=|z| ・・・(B)
が同値であることを示す.

[前半](A)⇒(B)
(2)より y・z=z・x で，これに
仮定(A)より z=-(x+y) を代入すると -(x・y+|y|^2)=-(|x|^2+x・y) ⇔ |x|^2 = |y|^2 ⇔ |x|=|y|
条件はすべてx,y,zについて対称なので，同様にして |y|=|z| などもいえて，(B)が示される．

[後半](B)⇒(A)
仮定(B)について，|x|=|y|=|z|=0とすると，条件(1)に反するので，|x|=|y|=|z|=a (>0) ・・・(3) とおける．
以下では3ベクトルx,y,z の始点をそろえて，互いのなす角に注目する．
2つずつのベクトル xとy，yとz のなす角の大きさをそれぞれ α, β (0°≦α≦180°，0°≦β≦180°)・・・(4) とおくことができて，このとき zとx のなす角γは α+β または |α-β| のいずれかで表せる(0°≦γ≦360°)．

(3), (4)より
(2)⇔ a^2・cosα=a^2・cosβ=a^2・cosγ ⇔ cosα=cosβ=cosγ ・・・(5)

これと(4)より α=βがいえて，γ=2α または 0°となる．
ところがγ=0°だとcosα=cosβ=cosγ=1 ⇔ α=β=γ=0°となり，(3)も考えると (1)に反するので不適．

よって γ=2α のみ可能なので，(5)より cosα=cos2α がいえて,
倍角公式 cos2α=2(cosα)^2 -1 から cosα=cos2α ⇔ 2(cosα)^2 -cosα-1=0
⇔ (2cosα+1)(cosα-1)=0 ⇔ cosα=-1/2 or 1
ここでcosα=1 ⇔ α=β=γ=0°は 先ほどと同じ理由で (1)に反するので不適で，
結局 cosα=-1/2 ⇔ α=β=120°, γ=240°

これは3つのベクトルx,y,z が大きさが等しく，しかも互いに120°をなすことを示し，(以下ほぼ自明だが)
|x|=|y|=|z|=a と x・y=y・z=z・x=a^2・cos120°=-(a^2)／2 より
|x+y+z|^2=|x|^2+|y|^2+|z|^2+2x・y+2y・z+2z・x=3a^2 +3・2{-(a^2)／2}=0
すなわち|x+y+z|=0 ⇔ x+y+z=0 (零ベクトル)
がいえる．

回答No.8

i536

回答No.7の【証明】に間違いがありましたので訂正します。

２．|x|=|y|=|z|　⇒　x+y+z=0. の部分です。

【誤り部分】
また、0でないx,y,zが同一直線上にあるとすると、xを用いて、
y=ax,z=bx(a,bは数)とでき、(5)よりxx=axx=bxx=r^2 , xx>0が成立するから、
a=b=1となり、x=y=z。これは条件２に反する。

【訂正】
また、0でないx,y,zが同一直線上にあるとすると、xを用いて、
y=ax,z=bx(a,bは数)とでき、(5)よりxx=a^2*xx=b^2*xx=r^2 , xx>0が成立するから、
a^2=1,b^2=1となり、a,bが±1のどの組み合わせてあっても、条件２または条件３に反する。

お礼

この場でみなさんにお礼申し上げます。ありがとうございました。数学と言うのは考え方によっていろいろな解法があるのだなぁとこの問題で改めて思いました。質問前には、三つのベクトルはすべてなす角度が同じだったら、証明できるのにと思いながらしましたが、解答にはたどり着けませんでした。

回答No.7

i536

【条件】
１．x,y,zは平面ベクトルである。
２．x=y=zではない。
３．xy=yz=zxの内積関係がある。

【結論】
x+y+z=0 ⇔ |x|=|y|=|z|.

【証明】
以下、sを、条件３の下記をみたす数とする
xy=yz=zx=s ---(1)

１．x+y+z=0 ⇒ |x|=|y|=|z|.

x+y+z=0の両辺に、それぞれx,y,zとの内積をとると、(1)より、
xx+yx+zx=0, xx=-2s ---(2)
xy+yy+zy=0, yy=-2s ---(3)
xz+yz+zz=0, zz=-2s ---(4)
(2)(3)(4)より、xx=yy=zz=-2s,
したがって、|x|=|y|=|z|.

２．|x|=|y|=|z|　⇒　x+y+z=0.

以下、rを下記をみたす数とする
|x|=|y|=|z|=r ---(5)

x,y,zは、原点を中心とする半径r>0の円周上にある三角形Δxyzを形成していることを示す。
x,y,zが0を含めば、(5)より|x|=|y|=|z|=0となるので、条件２に反する。
したがって、x,y,zはいずれも0ではない。
したがって、x,y,zは原点を中心とする半径r>0の円周上にある。
また、0でないx,y,zが同一直線上にあるとすると、xを用いて、
y=ax,z=bx(a,bは数)とでき、(5)よりxx=axx=bxx=r^2 , xx>0が成立するから、
a=b=1となり、x=y=z。これは条件２に反する。
したがって、x,y,zは同一直線上にはない。
したがって、x,y,zは原点を中心とする半径r>0の円周上にある三角形Δxyzを形成している。

Δxyzは正三角形であることを示す。
辺xy,yz,zxの長さをそれぞれA,B,Cとおけば、(1)(5)より

A^2=(y-x)(y-x)=yy+xx-2xy=2r^2 - 2s ---(6)
B^2=(z-y)(z-y)=zz+yy-2zy=2r^2 - 2s ---(7)
C^2=(x-z)(x-z)=xx+zz-2xz=2r^2 - 2s ---(8)

(6)(7)(8)よりA=B=C、
したがって、Δxyzは正三角形である。

上から、Δxyzは原点を中心とする半径r>0の円周上にある正三角形である。
よって、(1)のsは、cos(x,y)をx,yのなす角の余弦とすると、
s=xy=|x||y|cos(x,y)=r^2cos120°=-r^2/2 ---(9)

(x+y+z)^2　を(1)(5)(9)に注意して計算すると
(x+y+z)^2 = xx+yy+zz+2(xy+yz+zx) =3(r^2 + 2s)=0

したがって、x+y+z=0.

１．・２．より、x+y+z=0 ⇔ |x|=|y|=|z|.

回答No.6

oshiete_goo

#2[後半](B)⇒(A) の別解その2(ベクトル重視の解法)

x=y=z ではない ・・・(1)
x・y=y・z=z・x ・・・(2)
のもとに
x+y+z=0 ・・・(A)
|x|=|y|=|z| ・・・(B)
として(B)⇒(A)を示す

[解答後半]
仮定(B)について，|x|=|y|=|z|=0とすると，条件(1)に反するので，|x|=|y|=|z|=a (>0) ・・・(3) とおける

いま, xとyが同じ向きに平行とすると,
(2),(3)よりx・y=y・z=z・x=a^2 >0 で, すべてが一致することになり(1)に反し，不適.
また，xとyが逆向きに平行とすると,
(2),(3)よりx・y=y・z=z・x=-a^2 <0 で, どの2つも互いに逆向きでなければならないが，3つのベクトルなので同じ向きのものが出てきて不合理(向きは2つで, ベクトルが3つなので，"部屋割り法"あるいは"ディリクレの原理"により同じ向きのものが出てきてしまう).

結局，xとyは平行でなく,
-a^2＜x・y=y・z=z・x＜a^2 ・・・(7)
となり，実はどの2つも平行でないことが言える.

すると, これと(3)よりx,y(≠0)はこの平面上の1次独立なベクトルなので, 線形結合により z=αx+βy ・・・(8) (α,βは実数の定数) と書ける.

これを(2)に代入し, x・y=a^2・cosθ （(7)より x,yのなす角の大きさθは 0°＜θ＜180°ととれる）を用いると，
x・y=αx・y+β|y|^2 =α|x|^2+βx・y
これの(中辺)=(右辺)の式より
(α-β)(a^2)(1-cosθ)=0
ここでa>0とcosθ≠±1より α=β となる．

すると(左辺)=(中辺)の式 ⇔ cosθ=α(cosθ+1) ・・・(9)
ここで|z|^2=a^2 ⇔ 2α^2(1+cosθ)=1 ・・・(10)
(9),(10)を連立して，cosθ≠±1などに注意して解くと, cosθ=-1/2, α=-1となる(計算略)．[やはり(2cosθ+1)(cosθ-1)=0などが出てきます．]

よってz=-(x+y) ⇔ x+y+z=0 (証明終わり)

回答No.5

oshiete_goo

#2[後半](B)⇒(A) の別解(ましな？解法)
3つのベクトルx,y,zに関して条件は対称なので，必要ならば名前を付け替えて平面上に3ベクトルx,y,zが始点をそろえてしかも反時計回りに存在するとして一般性を失わない．
すると2つずつの3組のベクトルxとy,yとz,zとxがなす角を反時計回りを正としてそれぞれα，β，γとすると，上の議論により
0°≦α≦360°，0°≦β≦360°，0°≦γ≦360°かつα＋β＋γ＝360°・・・(6)
と取れる．[このとり方では角を180°以下に限定できないことに注意．]
すると
x・y=y・z=z・x ・・・(2)
|x|=|y|=|z|=a (>0) ・・・(3)
より，
cosα=cosβ=cosγ ・・・(5)
が導かれる．(導出省略)

[注意]直観的にはまことに自明のようですが，証明の問題なので，これだけからすぐにα＝β＝γと結論するのは論理的には重大な誤りor説明不足です．結果的には言えるのですが．(∵cos60°＝cos300°など)ここの議論が多分出題のねらいでしょう．京大が特に好きそうな問題ですね．[直観的には当たり前なのに，きちんと示せと言われると意外と面倒．．．]

条件の対称性より(必要ならば名前を付け替えて)一般性を失うことなく角αは最大角としてよい．[蛇足ですが，βもγも同時に最大でもよいことに注意．]
するとα≧β，α≧γとなる．
(6)よりα，β，γのうち180°より大きい角は最大1個なので，条件(5)，(6)より，
i)最大角α≦180°のとき，α＝β＝γ＝120°
ii)最大角α＞180°のとき，α＞180°＞β＝γ かつ α＝360°－β
このとき360°＝α＋β＋γ＝(360°－β)+β＋γ=360°+γ より
γ＝0°，β＝0°，α＝360°となって長さの等しい3ベクトルが重なって(1)に反するので不適．
よってi)のα＝β＝γ＝120°しかありえない．
以下略．

回答No.4

Mell-Lily

同値の証明ですから、逆の証明も書かなければなりませんが、逆は、絶対値が等しい三つのベクトルのうちの、どの二つの内積も、相等しいならば、どの二つのベクトルのなす角も、相等しいということですから、三つのベクトルは、360°を三等分するので、題意が成り立つことになります。

回答No.3

zabuzaburo

ベクトルを小文字で表します。
平面上に始点Oを定め、そこから伸ばしたx,y,zの終点を
それぞれX,Y,Zとします。
すなわち、x = (O→X), y = (O→Y), z = (O→Z)です。
この図をもとに、下の3つの条件の意味を考えます。

(*) x・y = y・z = z・x
(#) |x| = |y| = |z|
(%) x + y + z = 0

いま、(*)を分けて書くと
x・y = y・z
y・z = z・x
z・x = x・y
さらにそれぞれを書き直すと
y・(x - z) = 0
z・(y - x) = 0
x・(z - y) = 0
これは
(O→Y)⊥(Z→X)
(O→Z)⊥(X→Y)
(O→X)⊥(Y→Z)
を意味します。
すなわち、(*)は
「点Oは三角形XYZの垂心である」
ことを意味します。

(#)|x| = |y| = |z|
これは、3点X,Y,Zが点Oから等距離にあるという条件ですから、
「点Oは三角形XYZの外心である」
ということを意味します。

(%)x + y + z = 0
三角形XYZの重心の位置ベクトルが
(x + y + z)/3 で与えられることから、
「点Oは三角形XYZの重心である」
という意味になります。

この問題は「(*)のもとで『(#)⇔(%)』」
ということですから、
「垂心と外心が一致すれば、その点は重心でもある」
「垂心と重心が一致すれば、その点は外心でもある」
ことを証明せよ、と言っているのと同じです。
実は、
「垂心・重心・外心・内心のうちの2つが一致すれば、
その三角形は正三角形であり、結局4つの心が全て一致する」
ということが分かっています。
この定理を使ってもよいなら
上の議論を答案としてほとんどそのまま使えますが、
まぁ参考までに、ということで(^^;)

回答No.1

Mell-Lily

X+Y+Z=0
から、
　X=-Y-Z
ですから、これを
　X・Y=Z・X
に代入すれば、
　(-Y-Z)・Y=Z・(-Y-Z)
　∴-Y・Y-Z・Y=-Z・Y-Z・Z
　∴|Y|^2=|Z|^2
　∴|Y|=|Z|
です。残りも同様。