ナブラ、ベクトルの証明

質問

はじめまして。

→r＝t(x,y,z)であり、→a＝t(a1,a2,a3)は任意・一定のベクトルのとき、次式を証明せよ。
※→r、→aをベクトル表記とし、tは転置を表しています。

∇(→a・→r)＝→a

解答を見ると　
　　　　　　　　　｜∂(a1・x＋a2・y＋a3・z)/∂x｜
∇(→a・→r)＝｜∂(a1・x＋a2・y＋a3・z)/∂y｜　・・・・（１）
　　　　　　　　　｜∂(a1・x＋a2・y＋a3・z)/∂z｜

　　　　　　　｜a1｜
　　　　　　＝｜a2｜　＝→a
　　　　　　　｜a3｜
となっています。

そこで、よく理解できないのですが
（→a・→r)を計算まではわかるのですが
そのあと、∇をくっつけると
（１）のように表記されるのはなぜでしょうか？？

∇(→a・→r)＝｛　∂(a1・x＋a2・y＋a3・z)/∂x　∂(a1・x＋a2・y＋a3・z)/∂y　∂(a1・x＋a2・y＋a3・z)/∂z　｝
これではいけないのでしょうか？？
これだと、もちろん証明にならないのですが・・・。

→a、→rが列ベクトルであるので、行ベクトルであらわしてはいけないということなのでしょうか？

本当に、初歩的な質問ですみません。
回答できるかたお願いしますm(__)m

回答No.3

Meowth

（補足）
＞∇→rの場合、∇を列ベクトル、→rを行ベクトルとした場合、
質問の話題より
だいぶ話が細かくなっているのですけど…
∇→rの場合、∇を列ベクトル、→rを行ベクトルとした場合
なら結果はスカラー（内積）でしょう。
ベクトル解析では∇・→rで内積で、（div(→r)
列ベクトルと行ベクトルの積なら内積ですね。
ベクトル解析で∇→rなら（定義はいろいろでしょうけど）
ディアディックで結果は行列。縮約すれば内積で、（div(→r)
（この辺からは、普通めんどくさいので、アインシュタインの縮約規則
で添え字で書いたほうが分かりやすい）
添え字で書けば
∇=∂i
r=xi
∇→r=∂ixj　（行列）
∇・→r＝∂ixi　=Σ∂ixi（スカラー)
です。

回答No.2

Meowth

ベクトル解析の入門書では、普通の定義で
∇はベクトルなので
→rが列ベクトルか行ベクトルかというのと同じ
程度にどっちでもいい。
しかし、定義によったり場合によって
（特に行列と混在するような場合）
もっと詳しく区別することがあるので、読んでいる本の定義に
従う。
縦ベクトルと行ベクトルを区別したり、右演算子、左演算子
を区別したりする。
その場合、縦ベクトルとの内積は　横ベクトルの∇.縦ベクトル
でしか計算できなくなる。
とか、
ディアディックで
∇r (結果は行列）を計算した場合、
（普通のベクトルでもいいが、
∇は縦ベクトル、
rは横ベクトルとしたほうが自然）
この転置行列は
rt∇t で　∇は左にかかる演算子になる。とか
縦ベクトルになったり横ベクトルのになったり
する（にしたほうが都合いい）ので、
どっちかを決めて転置であらわす。
（ｔは転置）
ということで、場合によって臨機応変に。
この本の場合、縦ベクトルで定義しているということでしょうね。

お礼

返信ありがとうございます。
∇がベクトルはベクトルだったんですね。。

∇→rの場合、∇を列ベクトル、→rを行ベクトルとした場合、
結果の表記は列ベクトルでも、行ベクトルでもどちらでもいいのでしょうか？？

読解力がなくてすみません。

回答No.1

proto

表してはいけないと言うより、列ベクトルで表すように決めているんでしょうね。
僕は行ベクトルで(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)と書かれる方が慣れてますけど、今回はベクトルといえば列ベクトルで表すように統一しているんでしょう。

ナブラというのはあくまで、(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)を∇と書こうと決めただけのものですから。
行ベクトルでないと不都合があるとか矛盾を生じるとかいうものでもないです。

お礼

返信ありがとうございます。
そうですよね。
安心しました。ありがとうございました！