解き方(考え方)を教えてください

質問

初めまして。高１です。一応県内トップ高なので、授業のペースも速く、不安です。
考え方が分からない問題は
a(b-c)3＋b(c-a)3＋c(a-b)3　です。
（）のあとの数字は3乗ととらえて下さい。

展開がわからないことはないのですが、ある文字に注目してまとめていく過程で出てくる共通因数の見つけ方のようなものがよくわかりません。
わかる方がおられましたら、是非教えてください。
お待ちしています。

回答No.2

s_t_a_

この式だけでは問題になっていないですけど。因数分解せよ、という問題ですよね？できれば、質問者さんが途中まで展開して整理したところを書いていただいたほうが良かったかもしれません。分からないところを聞く、というのがこのサイトの主旨なので。

とりあえず展開はできるということなので、展開してみましょう。
ちなみに乗数を表示するときは、aの3乗であればa^3のように表示します。覚えておいてください。

(与式)
=ab^3-3ab^2c+3abc^2-ac^3
+bc^3-3bc^2a+3bca^2-ba^3
+ca^3-3ca^2b+3cab^2-cb^3

(a+b)^3の公式を使うと上のように展開できますね。では、質問の中でもおっしゃられているように、３つの文字のどれかに着目して整理していきます。
ここではaに着目することにします。
aに着目すると、展開された式の各項は、a^3、a^2、a、aを含まない、の4種類あるので、それぞれa^3などでくくりながら、降べきの順に並べてみます。

(c-b)a^3+(b^3-c^3)a+bc^3-cb^3

(c-b)を共通因数としてくくれるように、後ろの項を因数分解します。

(c-b)a^3-(c-b)(c^2+bc+b^2)a+bc(c+b)(c-b)

＊a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)を使いました。

(c-b)でくくります。

(c-b){a^3-(c^2+bc+b^2)a+bc(c+b)}

さて、ここで後ろの{}の中を見ると、aの3次式になっています。ですが、因数分解で一つの文字に着目するときの重要ポイントは、『次数の低い文字に着目すること』です。さっきはa,b,cのどれに着目しても3次式だったのですが、今回はbに着目すれば2次式なので、bに着目して整理します。

簡単のため、{}の中のみ書きます。
途中式も整理しつつ書きます。

（{}の中）=(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2

(c-a)という因数をくくりだせるように整理します。

(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)
=(c-a){b^2+cb-a(c+a)}

また{}の中を因数分解します。ここではたすきがけをします。

({}の中)=(b+c+a)(b-a)

したがって、

(与式)=(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

これが答えですね。最後はちょっときれいな形になるように符号を整理しました。

なんかもっとスマートな解き方があるのかもしれませんが、僕がやるとしたらこうやってゴリゴリ計算をすると思います。途中符号や次数を間違えないように注意してください。

共通因数の見つけ方が分からない、とのことですが、こういった問題では、とりあえず展開して整理すれば３乗の係数が(c-a)のように、因数として出てくることがほとんどですから、それに合わせて後ろを因数分解していけばいいと思います。

県内トップ高、スゴイですね。ついていけるように頑張ってください。

お礼

ご回答ありがとうございました。(b-c)でくくるところで間違えていたことがわかりました。また、次数の低い文字に注目するという大前提を忘れていたようです。　詳しく、とてもわかりやすいご回答で助かりました。
因数分解せよ　という問題文を書き忘れて申し訳ありませんでした。また、今度質問させて頂く際には、アドバイスして頂いた通り、できるところまで書きたいと思います。
レベルが高くてキツイですが、頑張りたいと思います。本当にありがとうございました。