連立不等式が正数解を持つ条件

質問

xについての不等式x^2-(a+1)x+a<0,3x^2+2x-1>0を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するように定数aの値を求めよ。こんな問題です。

x^2-(a+1)x+a<0を解いてa<1のときa<x<1
a=1のとき解なし
　　　　　　　　　　　a>1のとき1<x<a

3x^2+2x-1>0を解いて　x<-1,1/3<x

a<1のとき、a>1のときのみ同時に満たす整数xがちょうど3つ存在する。

ここまでは分かりますがここからが分かりません。

a<1 -4,-3,-2 よって-5≦a<-4
a>1 2,3,4 よって4<a≦5

分からないところを明確に言うとなぜ「-4,-3,-2 と2,3,4になるか」と言うことです。aが1以上若しくは1以下なのでべつに「連続している必要はない」と思ってしまいます。

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

説明不足のように思いますので、補足します。

＞aを通常のy軸に取ってください。

(この文章の次に)　a＝k(定数)として、kをx軸に平行に動かしてみてください。。。。。。を、補足します。

＞(1)より　a＞xの時は　x＞1/3ですから

x+1＜0の場合もありますが、題意を満たすxの整数値がちょうど3個となる場合はありえないことは、図から自明。。。。。。を補足します。

回答No.3

mister_moonlight

＞aが1以上若しくは1以下なのでべつに「連続している必要はない」と思ってしまいます。

連続する必要性はないのですが、結果的にそうなるということです。
そのためには、貴方の解法では分かりにくいでしょうから別解を示します。

但し、「領域の図示」を習っている事が前提です。

x^2-(a+1)x+a<0より　(x-1)(x-a)＜0　‥‥(1)
3x^2+2x-1>0より　(3x-1)(x+1)＞0 ‥‥(2)

(1)と(2)をx－a平面上に図示してください。
aを通常のy軸に取ってください。

(1)より　a＞xの時は　x＞1/3ですから、整数xがちょうど3つ存在するようには、題意を満たすにはxの整数値が2、3、4ですから、4＜a≦5であることは殆ど自明でしょう。

同様な方法で、a＜xの場合をやってみてください。
-5≦a＜-4になるはずです。

回答No.2

postro

数直線を書いて考えてください。
a＜1　のとき
a＜x＜1　と　x＜-1 を　同時に満足させる整数xは（aに制限がなければ）　-2,-3,-4,-5,-6,-7,・・・・・
これをちょうど３つにするためにはaに制限をつけて-2,-3,-4までにして、-5以下を排除する。
1＜a　のとき
1＜x＜a　と　1/3＜x を　同時に満足させる整数xは（aに制限がなければ）　2,3,4,5,6,7,・・・・・
これをちょうど３つにするためにはaに制限をつけて2,3,4までにして、5以上を排除する。

回答No.1

age_momo

この問題を読み換えれば、

a<1の時、

a<x<-1　の範囲に整数が3個あるようにaを決めなさいということです。(xの整数解が3個なので)
当然、そのような整数は連続してます。

仮に

-a<x<a　・・・・・・(1)

x<-1 あるいは　x>2　・・・・・・(2)

(1),(2)の共通部分ならx=-3or-2or3となるようにaを決めることはできますが、
この問題の場合は無理です。