直流電磁波の先頭部では媒質を押す力のバランス

質問

理想的な誘電体が充填された無損失同軸ケーブルに左端から直流波をステップ関数的に入力する系に関して質問させていただきます。
電磁波の先頭部は誘電率の平方根の逆数倍だけ光の速度より遅くなり右へ進みます。この時電磁波の先頭部の誘電体部分は突然分極することになり分極電流がデルタ関数的に発生します。この分極電流に直流波の磁界Ｂがステップ関数的に作用して誘電体媒質を電磁波の進行方向に押す力を発生するのではないかと考えています。この時の力は伝送電力に比例し、かつ電気感受率Ｋの平方根にほぼ比例して大きくなるという結果になったのでおかしいかなと感じています。誘電体媒質を前方に押す力は分極電流密度ｄP/dtと磁界Ｂのベクトル積を体積積分して求めました。結果は以下の様になりました。（係数1/2はデルタ関数とステップ関数の積分です）

Ｆ＝(1/2*光速ｃ)伝送電力Ｐ＊電気感受率Ｋ/(誘電率）^0.5

ここで誘電率の平方根はステップ関数の時間微分によって導出されたものであり電磁波速度の誘電率による低下を示しています。
この力の反作用を直流電源が受け取るとも分極電流が存在しない部分の誘電体が感じるとも思えません。どこで力のバランスが取れているのでしょうか。わかり易い解説をお願いします。

回答No.2

circuit_breaker

まず、誘電体に働く力　( Power /c )（ 1－1/√ε)　の導出手順にいただいた疑問に関してです。

１．誘電体があっても送受端の輻射圧は変化しません

ケーブルの両端付近の誘電体は取り除いて、ケーブル内外径比を大きくした、インピーダンス整合部分を設けましょう。送受電端が接続されているのは誘電体の無い伝送線路ですし、かつ不整合がなければ誘電体界面の反射もありません。従って、送受電端は誘電体の有無を知る由も無く、それに起因する反動を受ける事も無いでしょう。輻射している時点で真空中に輻射するがごとく送電端の反動は決定されていて、電力の行く末には無関心のように見えます。

２．電気感受率∞の極限において力が輻射圧( Power /c)に漸近する妥当性

極めて誘電率が高く、伝送速度が殆ど停止に近いような状況を想像して下さい。誘電体内で波頭はほぼ停留します。送電端から連続して電力が送り込まれ送電端には輻射圧が生じているとしましょう。波頭停留でエネルギがそこから先に進まないのに台車がどんどん加速されながら動いて行くと、重心移動と相容れなくなります。誘電体に電磁波が入った直後から、送電端輻射圧と誘電体が受ける圧力がバランスして台車は等速運動に成らねばならないでしょう。送電端と誘電体部分が近接していれば実質静止です。もう一つ根拠があります。波頭がほとんど動かないという状況を整合抵抗で模擬する事も可能でしょう。吸収されたエネルギは熱量の等価質量としてそこに停留します。熱エネルギに違和感があれば、受電電力を回生してその位置の蓄電器に貯めると考えても良いでしょう。誘電率∞の極限で波頭が誘電体に及ぼす圧力は整端抵抗への圧力(Power /c)に等しいと思われます。

３．ケーブル内部に存在するエネルギ等価質量に関して

伝播途上の等価質量の重心移動に関心を払われているようですが、今回の問題に関する限りそれは混乱の元かと思います。力はどこで生じるかというと、送受電端と誘電体中の波頭波尾のみです。伝播途上の等価質量がどれだけあろうが、その重心がどこにあろうが、それら自体が台車に直接働きかける事はありません。電力伝送を短いパルス列に分割して考えてみて下さい。台車移動距離計算法の一つは、伝播途上に関係なく、単に送電端から受電端に移ったエネルギ等価質量によるものであり、もう一つは、前述圧力とそれらの時間的タイミングを基にしたものです。この二つを結びつけるのが台車の役割です。ケーブル上を伝播しつつあるエネルギの重心移動から得なければならない情報はありません。

４．手法の要約

台車の移動距離は送受電端でやりとりしたエネルギ総量(等価質量)で決まる。送受電端の輻射圧は誘電体の有無で変わらない。同軸ケーブルに誘電体が詰まって伝送時間が伸びた場合、送受電端の輻射圧のみだと移動距離が大きく算出されてしまう。台車には、それら輻射圧を軽減する力が掛かっていなければならない。それが誘電体に生じている力であろう。と言う理屈（詳細は前回投稿）で誘導されたのが私の式です。決して作為的な処理はしてないつもりです。

さて次のテーマですが、F=(dP/dt)×B から圧力を求めるのは、なかなか手ごわそうです。

この力のdP/dtの部分は、具体的には誘電体内部の双極子回転など電荷移動の変位電流を総合的に示しているものであり、ミクロ的にみれば、内部電荷の F＝qv×B の事だと思います。そのような実体を持って解釈する時、この式自体に疑いの余地はありません。ある誘電体定点の応力計算なら支障ありません。ところが、本問題への適応には困難を感じるのです。本件の力の掛かる場所は波頭であって、それは「移動」しています。問題 2327347 と決定的に異なるところです。定点で見れば一瞬の出来事、一方で波頭と共に移動して観測すれば連続した出来事ですが、力を受ける対象電荷が入れ替わり続けます。本当にローレンツ力は、F=(dP/dt)×Bで良いでしょうか。

錯覚しそうなポイントが沢山あり、難解です。例えば、文面のニュアンスと結果から察しますに、「先頭部がステップだと分極電流がデルタ関数的だから、先頭をランプにしよう。そうすればランプの中に総合して Io ＝ √( Power / Zo ) という電流が流れる。そしてこれが芯線電流 Io の磁束とローレンツ力を・・・」と計算をされていませんでしょうか。分極は波頭と共に動いて観測し、電流は静止座標で観測しているような不思議を感じます。同軸ケーブルにステップ電圧を入力しましょう。果たしてその時インパルス電流に困るでしょうか。単に抵抗としての電流が生じるだけです。またランプ波形にする意味は何でしょう。定点で観測した時に電流が零から Io にランプするのであって、ランプの区間に変位電流 Io が閉じ込められるのではありません。電流は波頭が進むから流れるのであり、電流のスナップショットを撮るのは無理があるのかもしれません。私は混乱しました。

F=(dP/dt)×B　から ( Power /c )（ 1－1/√ε) を導き出してみたいと思いましたが、移動する現象は手ごわいです。極端な話、「押しながら前進する」などと表現すると、まるで仕事をしているかのようで、損失と勘違いされそうです。「押している位置か移動している」だけでしょうが、なかなか捉え辛いものがあります。