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直流電磁波の先頭部では媒質を押す力のバランス
circuit_breakerの回答
- circuit_breaker
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１）誘電体が押されることの反作用はどこが受け止めているのか 直流ステップが同軸ケーブル中を進む際、誘電体を進行方向に押す。この反力を受け止める力の支点がどこかに欲しくなりますが、必ずしもその時点では用意されていません。まず誘電体の無い場合の説明も行った方が解り易いかもしれません。左に電源、右に負荷、エネルギは同軸ケーブルを通じて移動します。相当する等価質量が左から右に運ばれる事を意味しますので、この実験セットが台車に載っていれば総質量の重心が移動しないように、台車はエネルギ移動量に比例して左に移動しなければなりません。そしてこの移動量は、輻射圧の見地からも説明されなければなりません。電磁波の運動量とエネルギの等価質量を関連づける良く紹介されている思考実験です。短いパルスを電源から送り出せば、その運動量、つまり輻射圧・Δｔの反動で台車は左に動き出し、等速運動した後、負荷に到達したパルスの反動で停止します。台車が獲得する速度と動いている時間によって生じる移動距離が等価質量の重心移動距離と一致するとして、電磁パルスの輻射圧が計算できます。 台車を含めた実験セットの質量をＭ、同軸ケーブルの長さをＬ、運ぶ電気エネルギの等価質量をｍとすれば、台車は X_a＝(ｍ/Ｍ)Ｌ（ただしｍ≪Ｍとして）ほど移動しなければ重心位置が保存されません。この質量が電力Ｐ、Δｔのパルス：ｍ＝ＰΔｔ/c^2だとすれば、移動距離はX_a＝(ＰΔｔ/c^2/Ｍ)Ｌです。一方輻射圧Ｆと台車の獲得速度vの関係は、v＝ＦΔｔ/Ｍであり、移動時間は誘電体の無い時はＬ/ｃですから、こちらから計算される移動距離はX_b＝(ＦΔｔ/Ｍ)(Ｌ/ｃ)です。X_b＝X_aとして、(ＦΔｔ/Ｍ)(Ｌ/ｃ)＝ (ＰΔｔ/c^2/Ｍ)Ｌ を整理し、Ｆ＝Ｐ/c を得ます。 なお、パルス幅Δｔが大きいと加速減速過程が気にかかるかもしれません。しかし、その期間の送受反動の挙動は等しく相殺されるので考慮の必要はありません。パルス幅がケーブルスパン伝送時間を超すような設定でも式は有効です。送受の輻射圧が相殺した等速運動期間が存在しますが、この場合でも、総エネルギを任意Δｔに集中させた移動距離と変わりはありません。 テーマに関わる重要ポイントは、送受単独に輻射圧が容認され、時間遅れがあるからこそ、キャッチボール同様、台車を移動させられる事、それで質量と輻射エネルギの等価性が守られる事です。誘電体が受ける力に関しても同様です。パルス前縁で誘電体は右に押され、後縁で誘電体は左に押されていますが、この間の任意遅れが容認されねば、台車の移動に関して都合の悪い事態が発生します。電気エネルギにも質量があり慣性があると考えれば、誘電体を押す力の支点が目に見える実体上に存在してなくても良いように思います。 ２）波頭が誘電体に及ぼす力 さて誘電体に掛かる力を求めてみましょう。前出の移動距離の式：X_b＝(ＦΔｔ/Ｍ)(Ｌ/ｃ)を考えます。同軸ケーブルに誘電体が詰まっていると伝送時間(Ｌ/ｃ)が、(Ｌ/ｃ)√εに伸びます（ここでε：比誘電率）。しかし誘電体があっても送受端の輻射圧Ｆは変化しませんから、別の力が働いて補正されないと、移動距離が伸び、重心保存から計算される移動量と矛盾します。この力こそ誘電体に働いている力ではないでしょうか。（なお誘電体のある場合の送受端の輻射圧に違和感があれば、送受電端付近の誘電体を取り除き、ケーブル内外径比を変化させた、インピーダンス整合部分を挿入してください。反射が無ければ議論に影響は無い筈です。） ところで、 ・パルス前縁"のみ"がケーブル区間に存在する時：送端電源は左に、またケーブル誘電体は右に力を受けています。 ・パルス後縁"のみ"がケーブル区間に存在する時：受端負荷は右に、またケーブル誘電体は左に力を受けています。 ・パルス前縁も後縁もケーブル区間に存在する時：送受電端に圧力は無く、またケーブル誘電体内の両圧力は合計で零です。 ・パルス前縁も後縁もケーブル区間に存在しない時：ケーブル誘電体内に力は無く、また送受電端両圧力は合計で零です。 各場合の考察から、「誘電体が台車に及ぼす力は、送受電端が台車に及ぼす力に従属して発生し、送受電端輻射圧力を等しい割合で軽減する力」と見て良いことが分かります。 誘電体無しの移動量：X_b＝(ＦΔｔ/Ｍ)(Ｌ/ｃ)に等しくなるべきは、誘電体への圧力をＴと記して、((Ｆ-Ｔ）Δｔ/Ｍ)(Ｌ/ｃ)√εです。これら２式より、Ｔ＝Ｆ( 1－1/√ε)、つまり波頭が誘電体に与えている力は、 (Ｐ/c)（ 1－1/√ε) と表せそうに思います。（ 類似の演習問題を見かけた事が無いので勘違いが無いか不安です。誤りがないと良いですが。） ３）ご提示の式に関して ほぼ誘電率の平方根で無制限に増大すると、誤りの可能性が高いように思います。誘電率∞の極限において受け止める反力は輻射圧(Ｐ/c)に漸近すると思われるからです。比誘電率１では零、∞では(Ｐ/c)になってしかるべきかと思います。（私の式は一応これは満たしています） 電磁気的な方法で力を計算することで、私も自分の式を検証してみたいところですが、にわかには難しいようです。波頭のインパルス的分極の取り扱いが上手く行くとしても、分極電流と磁束のローレンツ力が波頭と共に移動しているところが厄介です。観測者にとって静止した定点の応力計算なら簡単ですが、高速で移動している部分のローレンツ力が相対論的にどう観測されるのか複雑そうです。また電圧ステップの場合、波頭境界に静電的な反発応力も生じているのでは無いかと心配です。
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