割り切れるかどうかを即判断するには？

質問

ある整数（Ａ)を別の整数（Ｂ)で割り切れるかどうかを（実際に計算しなくても)判断する方法として

Ｂ＝１の時・・・全てのＡに対して割り切れる
Ｂ＝２の時・・・Ａの１の位が偶数なら割り切れる
Ｂ＝３の時・・・Ａの各位の和が３の倍数なら割り切れる
Ｂ＝４の時・・・Ａの下二桁が４で割り切れるなら割り切れる
Ｂ＝５の時・・・Ａの１の位が０か５なら割り切れる

だと思うのですが、Ｂ＝６以上の時の判断方法があったような無かったような記憶が曖昧です。
無ければ無いでスッキリするので、どなたか教えてください。

回答No.7

at9_am · ベストアンサー

＃５です。
すいません。
証明もせず回答を書いたので間違っていました。

導出した結果だと、
各桁の数字と３×(桁数-1)の積和が７の倍数になれば、その数値は７の倍数になります。
たとえばご指摘の 3164 であれば、
3*3^3 + 1*3^2 + 6*3 + 4 = 112 = 7*16
となり、割り切れることが分かります。

以下、導出です。

n+1 桁の整数を
N = Σ_{i=0, n} 10^i a_i = a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 + ... + 10^n a_n
とおく。ただし a_i は０から９までの整数とする。
このとき、
N = Σ_{i=1, n} (7+3) 10^{i-1} a_i + a_0
= 3 Σ_{i=1, n} 10^{i-1} a_i + a_0 + 7M
= 3^2 Σ_{i=2, n} (7+3) 10^{i-2} a_i + 3 a_1 + a_0 + 7M'
= ...
= 3^n a_n + ... + 3 a_1 + 3^0 a_0 + 7 M''
= Σ_{i=0, n} 3^i a_i + 7M''
となる。M''は整数なので 7M''は７の倍数になるから、Σ_{i=0, n} 3^i a_i が 7 の倍数であれば N は 7 の倍数になる。

お礼

再度回答して頂きありあがとうございます。
例えば４桁の場合で考えると
Ａ＝ａ＋１０ｂ＋１００ｃ＋１０００ｄ　とすると
　＝（７＋３)×（ｂ＋１０ｃ＋１００ｄ)＋ａ
　＝７×（ｂ＋１０ｃ＋１００ｄ)＋３×（ｂ＋１０ｃ＋１００ｄ)＋ａ
となるからって事なんですね。

で、この問題の基本的な考え方は
「βが出来るだけ簡単な式となるように、Ａ＝Ｂ×α＋βと分解する事」
だと皆さんの回答を拝見して分かりました。（ただ、その分解がなかなか上手く思いつきませんが・・・)

回答No.6

freedom560

以下のHPに複数の数字での判定方法とその考え方がかかれています。

HPに書かれていますが、基本的な考え方は

N=a+10b+100c+1000d+・・(ただし、0≦a,b,c,..≦9)

と書いてから考えます。一番有名な9の倍数は
10=9+1
100=99+1
1000=999+1
と考えて
N=9(b+11c+111d+・・)+a+b+c+d+・・
と変形できることから考えます。

基本的な考え方さえ理解できていれば、例えば99の数で割り切れるかどうかは
100=99+1
1000=990+10
10000=9999+1
100000=99990+10
と変形できることから
N=99(c+10d+101e+1010f・・)+(a+10b)+(c+10d)+(e+10f)+・・
と変形できるので
「２桁毎に区分けした数を足した数が９９の倍数」
のようにして判定することができることが比較的容易に想像できます。
（もちろん９９の倍数なら「９の倍数かつ１１の倍数」として判断することもできると思いますが）

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/multiple.htm

お礼

ＨＰ、拝見しました。しかし、自分には合同式のページを読んでもちょっと難しい内容でした。
このＨＰでＢ＝７の時の判断方法は、「３桁ずつに分けてそれを引いて足して、最後に１０ａ－２ｃを計算してそれが７で割り切れるなら割り切れる」という方法ですが、これだけの手順を踏むならば７で直接割った方が早そうですね・・・。
回答して頂きありがとうございました。

回答No.5

at9_am

他の方の回答と一部だぶりますが、６～９までです。

B=6 の時・・・Aが２の倍数かつ３の倍数なので、Aの各位の和が３の倍数であり、かつ１の位が偶数ならば割り切れる。
B=7 の時・・・7=3+4 なので、１の位以外の和をを三倍し、１の位を足した物が７で割り切れれば割り切れる。
B=8 の時・・・下三桁を８で割って、割り切れれば割り切れる。
B=9 の時・・・各位の和が９の倍数ならば割り切れる。

このくらいかな？

お礼

回答して頂き、有難うございます。
申し訳ありませんがＢ＝７の時の説明はどこか書き間違えてないでしょうか？
例えばＡ＝３１６４は７で割り切れるのですが（＝７ｘ４５２)
説明して頂いた計算では
（３＋１＋６)ｘ３＋４＝３４となり７で割り切れません。
私が何か勘違いしてるのでしょうか？

回答No.4

purity_mv

Ｂ＝８の時・・・８は２００で割り切れますので、
　　　　　　　　Ｂ＝４の時を拡大して考えて、
　　　　　　　　百の位にも着目すれば
　　　　　　　　判定が可能かと思います。

お礼

Ｂ＝８の時は初めて聞きました。
そうですね、Ｂ＝４を応用して考えれば下３桁に注目すれば良いですね。
回答して頂きありがとうございました。

回答No.3

tatsumi01

Ｂ＝　　１０の時・・・Ａの１の位が０なら割り切れる
Ｂ＝　１００の時・・・Ａの下２桁が００なら割り切れる
Ｂ＝１０００の時・・・Ａの下３桁が０００なら割り切れる

お礼

難しいことばかりでなく、こういった基本的な事も大事だと思います。
回答していただき有難うございました。

回答No.2

shiritai

Ｂ＝１１の時・・・Ａの奇数桁目の和と偶数桁目の和
　　　　　　　　　の差が11の倍数なら割り切れる。

　　　　例　135792468なら、
　　　　　奇数桁目（１の位から）8、4、9、5、1
　　　　　で和は26
　　　　　偶数桁目（10の位から）6、2、7、3で
　　　　　和は18
　　　　　26と18の差は8で11の倍数じゃないから違う

お礼

おおっ、これは初めて知りました。感動しました。
Ａが４桁の場合
Ａ＝ａ＋１０ｂ＋１００ｃ＋１０００ｄとすると
Ａ＝（ａ＋ｃ－ｂ－ｄ)＋１１ｂ＋９９ｃ＋１００１ｄ
　＝（ａ＋ｃ－ｂ－ｄ)＋１１ｂ＋１１ｘ９ｃ＋１１ｘ９１ｄ
となりshiritaiさんの仰る通り、１１の倍数かどうかを判断出来ますね。
回答していただき、有難うございました。

回答No.1

postro

Ｂ＝6の時・・・Ａの各位の和が３の倍数かつＡの１の位が偶数なら割り切れる
Ｂ＝７の時・・・知らない
Ｂ＝８の時・・・知らない（とりあえず４で割り切れるかチェックする）
Ｂ＝９の時・・・Ａの各位の和が９の倍数なら割り切れる

お礼

回答ありがとうございます。
Ｂ＝６の時は、目からうろこでした。６＝２ｘ３である事を考えると、まさにその通りですね。
Ｂ＝９の時は、すっかり忘れてましたが、教えていただき思い出しました。